\documentclass [12pt]{article}
\usepackage {multicol}


\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\textit{POTENCIAS Y RADICALES}}
\end{center}


\begin{enumerate}


\item Calcula las siguientes potencias. ?`Cu\'{a}les son
iguales?



\begin{multicols}{4}





(--2)$^{4}$

(--2)$^{5}$

(--2)$^{7}$

2$^{3}$

2$^{4}$

3$^{5}$

2$^{0}$

(--2)$^{3}$



\end{multicols}



\item Escribe en forma de una sola potencia:



\begin{multicols}{3}





(--2)$^{3} \quad \cdot $ (--2)$^{5}$

6 $^{\mbox{--}7}$ : 6$^{3}$

7$^{2} \quad \cdot $ 7$^{8}$

5$^{8}$ : 5$^{6}$

4$^{3} \quad \cdot $ 4 $^{\mbox{--}3}$

(2$^{3})^{7}$

2$^{2} \quad \cdot $ 2$^{3} \quad \cdot $ 2$^{4}$

3$^{2} \quad \cdot $ 3 $\cdot $ 3$^{3}$

(--4)$^{2} \quad \cdot $ (--4) $\cdot $ (--4)$^{3}$

7$^{16}$ : 7$^{14}$

(4$^{3})^{ \mbox{--} 2}$

8$^{15}$ : 8$^{17}$

12$^{12}$ : 12$^{10}$

2$^{ \mbox{--}5} \quad \cdot $ 3 $^{\mbox{--}5} \quad \cdot $ 4$^{ \mbox{--}5}$

8$^{4}$ : 4$^{4}$

(5$^{7})^{3}$

(--5)$^{22}$ : (--5)$^{23}$

(7$^{7}) \quad ^{\mbox{--}7}$



\end{multicols}


\item Coloca correctamente los n\'{u}meros que faltan:



\begin{multicols}{3}





2 \quad  = 16

3 \quad  = 1/3

55 \quad  = 1

14 \quad  = 14

2$  \quad \cdot $ 2$^{3}$ = 2$^{6}$

8$^{4}$ : 8 \quad  = 8$^{6}$

$^{2} \quad \cdot $ 5$^{2}$ = 15$^{2}$

(4$ )^{2}$ = 4 $^{\mbox{--} 8}$

3$  \quad \cdot $ 3$^{4} \quad \cdot $ 3 $^{\mbox{--}1}$ = 3



\end{multicols}







\item Expresa los siguientes n\'{u}meros en forma de potencia:



\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item 8
\item -- 27
\item $\frac{1}{5}$
\item 256
\item $\frac{9}{16}$
\item 0,125
\item $\sqrt[5]{4^3}$
\item $\sqrt[4]{2^3}$
\item 0,5
\end{enumerate}
\end{multicols}



\item Efect\'{u}a:



[(2 $\cdot $ 3)$^{9} \quad \cdot $ 6$^{8}$] : [6$^{3} \quad \cdot $ 6 $\cdot $
6$^{3}$]$^{2}$

-- 3$^{2} \quad \cdot $ 3$^{3}$ + (--3)$^{2} \quad \cdot $ 3

[2$^{12} \quad \cdot $ 5$^{6} \quad \cdot $ 5$^{ \mbox{--}2} \quad \cdot $ 5$^{8}$] :
[10$^{2} \quad \cdot $ 10$^{3}$]$^{2}$

(5 -- 2$^{3})^{2}$ -- 3 $\cdot $ 4$^{2}$ -- (--2)$^{2}$ -- (--5)$^{2}$ --
3$^{2}$ -- 2$^{3}$

12 -- 3 $\cdot $ 7 -- 2 $\cdot $ (--3)$^{2}$ -- (--4 $\cdot $ 5 --3$^{2})$
$\cdot $ 3 -- (--4)$^{3}$

5 -- 2 $\cdot $ 3$^{2}$ + (2 -- 4$^{2}) \quad \cdot $ (--2 -- 3 $\cdot $
4)$^{2}$

3 -- 2 $\cdot $ 4$\cdot $ (1 -- 3 $\cdot $ 5$^{2})$ + [(--2 + 3 $\cdot $
2)$^{2}$ + 28 : (--7)]$^{3}$





\item Simplifica y expresa el resultado con exponente positivo:



\begin{multicols}{3}





\begin{center}
a) $\frac{x^5y^{ - 2}}{x^6y^{ - 1}}$
\end{center}

\begin{center}
b) $\frac{6x^4y^2}{3x^2y^2}$
\end{center}

\begin{center}
c) $\frac{2x^2y^{ - 3}}{8xy^{ - 2}}$
\end{center}

\begin{center}
d) $\frac{x^{ - 2}}{x^{ - 4}}$ -- 2$x^{2}$
\end{center}

\begin{center}
e) $\frac{( - x^2)^5}{(x^2)^3( - x)^2}$
\end{center}

\begin{center}
f) $\left( {\frac{2x^{ - 3}y^3}{4x^{ - 1}y^2}} \right)^{ - 2}$
\end{center}

\begin{center}
g) $\frac{xy}{x^{ - 1}y^{ - 1}}$
\end{center}

\begin{center}
h)$\left( {\frac{4x^2y^0}{8x^{ - 2}}} \right)^{ - 2}\cdot \,\left(
{\frac{x^{ - 2}}{x^{ - 4}y^5}} \right)^2$
\end{center}



\end{multicols}



\item Calcula utilizando potencias de base 2, 3 y 5:



\begin{multicols}{3}





\begin{center}
a) $\frac{2^{ - 2}\cdot \,( - 3)^2\cdot \,5^{ - 3}}{( - 2)^3\cdot \,3^{ -
2}\,\cdot \,( - 5)^{ - 2}}$
\end{center}

\begin{center}
b) $\frac{2^5\cdot \,3^3\cdot \,2^{ - 1}\cdot \,3}{2^3\cdot \,3^2\cdot \,3^{
- 1}\cdot \,2}$
\end{center}

\begin{center}
c) $\frac{2\,\cdot \,4\,\cdot \,4^{ - 1}\cdot \,2^5\cdot \,2^3}{2^{ -
5}\cdot \,8\,\cdot \,4^3\cdot \,2^6}$
\end{center}

\begin{center}
d) $\frac{4^{ - 1}\cdot \,8\,\cdot \,16\,\cdot \,4^3}{2^4\cdot \,2^3\cdot
\,2^{ - 6}\cdot \,8}$
\end{center}

\begin{center}
e) $\frac{( - 5)^3\cdot \,( - 8)^3\cdot \,( - 9)^2}{15^2\cdot \,20^4}$
\end{center}

\begin{center}
f) $\frac{4\,\cdot \,8^{ - 3}\cdot \,125^{ - 1}}{32^2\cdot \,81^4}$
\end{center}

\begin{center}
g) $\frac{25^4\cdot \,625^{ - 3}}{( - 5)^4}$
\end{center}

\begin{center}
h) $\frac{5^3\cdot \,3^4\cdot \,20^6}{15^4\cdot \,2^5\cdot \,10^7}$
\end{center}

\begin{center}
i) $\frac{20^5\cdot \,16^3\cdot \,5^4\cdot \,6^5}{25^3\cdot \,30^4\cdot
\,4^7}$
\end{center}



\end{multicols}



\item Calcula, en los casos posibles, las soluciones de las siguientes
ra\'{\i}ces, sin utilizar la calculadora, indicando el n\'{u}mero de
soluciones de cada una de ellas, y expr\'{e}salos en forma de potencia con
exponente racional:





\begin{center}
a) $\sqrt {144} $ b) $\sqrt {\frac{121}{169}} $ c) $\sqrt {1225} $ d) $\sqrt
{\frac{ - 9}{16}} $ e) $\sqrt {360000} $ f) $\sqrt {2025} $
\end{center}





\begin{center}
g) $\sqrt[3]{1000}$ h) $\sqrt[4]{1296}$ i) $\sqrt[3]{\frac{27}{8}}$ j)
$\sqrt[{10}]{1024}$ k) $\sqrt[5]{ - 32}$ l) $\sqrt[5]{\frac{3125}{32}}$
\end{center}





\item Transforma las siguientes expresiones en potencias:





\begin{center}
a) $\sqrt {2\,\sqrt {2\,\sqrt {2\,\sqrt 2 } } } $ b)
$\sqrt[3]{3\,\,\sqrt[3]{3\,\,\sqrt[3]{3}}}$
\end{center}





\item Simplifica los siguientes radicales, extrayendo fuera lo que se pueda:



\begin{multicols}{3}


\[
\sqrt {12}
\]




\[
\sqrt {75}
\]




\[
\sqrt[3]{ - 8}
\]




\[
\sqrt[5]{ - 1024}
\]




\[
\sqrt[4]{\frac{1}{625}}
\]




\[
\sqrt[3]{ - \frac{125}{512}}
\]





\end{multicols}



\item  Extrae factores de los radicales siguientes:
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item  $\sqrt[4]{8b^3a^7}$
\item $\sqrt[{10}]{x^{1000}y^{345}z^{45}}$
\item $\sqrt[]{\frac{125a^2}{16b}}$
\item $\sqrt[3]{\frac{8x^4y^3z}{n^6}}$
\item $\sqrt[3]{\frac{a^{12}b^{23}}{c^{56}}}$
\item $\sqrt {a^{123}b^{234}c} $
\item  $\sqrt[5]{1024x^{456}}$
\item $\sqrt[5]{\frac{a^{234}b^{123}c^{234}d^{45}}{x^6y^{120}z^{231}}}$
\item $\sqrt[3]{\frac{(a^{35}b^5c)^8a^3}{a^{34}b^{ - 23}c^9}}$
\item $\sqrt[5]{\frac{81a^{34}b^{63}c^{123}}{(ab^{ - 5})^4c^{ - 35}}}$
\item $\sqrt{(x^{34}y^{23})^{23}} $
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item Extrae factores de los radicales siguientes:
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $\sqrt[3]{81x^3y^6}$
\item $\sqrt[5]{16a^2b^6c^{ - 9}}$
\item $\sqrt[3]{ - 64a^6b^3}$
\item $\sqrt {\frac{125x^3}{96y^3}} $
\item $\sqrt[3]{ - \frac{16a^2b^4}{27}}$
\item $\sqrt[3]{\frac{(a + b)^3}{(a - b)}}$
\item $\sqrt {25x^3 -50x^2} $
\item $\sqrt[3]{81x^5 - 27x^3}$
\item $\sqrt {8x^2 + 8x + 2} $
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Introduce factores dentro de la ra\'{\i}z:
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item 2$\sqrt[4]{3}$
\item 4$\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$
\item  $\frac{2}{x}\sqrt{\frac{3x}{8}} $
\item  $\frac{3}{5}\sqrt[3]{\frac{25}{9}}$
\item 3xy$\sqrt[7]{xy^5}$
\item  3$\sqrt[4]{\frac{27}{3}}$
\item  2ab$^{2}$c$^{3}\sqrt[5]{3ab^3}$
\item  2xy$^{3 }\sqrt[]{\frac{3}{2xy^2}}^{ }$
\item $\frac{x^{20}y^{12}}{z^{10}}\sqrt[3]{\frac{x^3y^3}{z^{32}}}$
\item (x$^{ -5}$y$^{2}$z$^{5})^{3}\sqrt[6]{x^8y^3z^{23}}$
\item ($\frac{x^3y^{45}}{z^5})^{ - 4}\sqrt[5]{\frac{x^4y^{23}z^{ -
14}}{x^{32}y^5}}$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Introduce factores dentro de la ra\'{\i}z:
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item 2$\sqrt 5 $
\item 2$\sqrt[3]{2a}$
\item  3\textit{ab}$\sqrt[3]{a^2b^2}$
\item $\frac{a}{b}\sqrt {\frac{a}{b}} $
\item  ($a + b) \quad \sqrt {\frac{a}{a + b}} $
\item  ($a -- b)$$\sqrt[3]{\frac{1}{a - b}}$
\item  ($a + b) \quad \sqrt {a^2 - b^2} $
\item  $\left( {\frac{a - b}{a +b}} \right)\,\,\sqrt {\frac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2 - 2ab + b^2}} $
\end{enumerate}
\end{multicols}
\item Demuestra que los radicales siguientes son semejantes:





\begin{center}
a) 2$\sqrt 3 $; $\sqrt {243} $; $\sqrt {75} $ b) 3$\sqrt 2 $; $\sqrt {18} $
c) $\sqrt[3]{125a^4}$; $\sqrt[3]{27a^7}$ d) 5$\sqrt 2 $; 3$\sqrt 8 $; $\sqrt
{18} $
\end{center}





\item Escribe dos radicales semejantes a: $\sqrt 7 $, $\sqrt 3 $, $\sqrt 8 $,
$\sqrt 6 $





\item Halla las siguientes sumas y diferencias de radicales:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item 6$\sqrt 3 $-- 4$\sqrt 3 $+ 5$\sqrt 3 $
\item 3$\sqrt 2 $ + 5$\sqrt 2 $-- 8$\sqrt 2 $
\item 3$\sqrt 2 $-- 3$\sqrt 8 $+ 3$\sqrt {18} $
\item 3$\sqrt {24} +\sqrt 2 $-- $\frac{1}{7}\sqrt 2 +\frac{1}{4}\sqrt 2 $
\item $\sqrt 2 +
\quad
\sqrt 8
$
\item $
\sqrt[3]{125} + \quad \sqrt[3]{27}$
\item $\sqrt {12} $-- 3$\sqrt 3 $+ 2$\sqrt {75} $
\item $\sqrt {75} $-- 2$\sqrt 3 $+ 5$\sqrt 9 $
\item 2$\sqrt {45} +\sqrt {500} $-- 3$\sqrt {245} $
\item $\sqrt[3]{250}$-- $\sqrt[3]{54}$-- $\sqrt[3]{56}$
\item $\sqrt[3]{2}$-- 5$\sqrt[3]{16}$+ 4$\sqrt[3]{32}$
\item $\sqrt {\frac{2}{9}} +
\quad
\sqrt {\frac{8}{25}} $-- $\sqrt {\frac{2}{225}} $
\item $\sqrt {10} $-- 2$\sqrt {10} $-- $\frac{1}{2}\sqrt {10} $
\item $\sqrt {45} $-- $\sqrt {80} +\sqrt {180} $--$\sqrt {20} $
\item $\frac{3}{2}
\sqrt {28} $-- $\frac{2}{3}\sqrt {63} +\frac{1}{10}\sqrt {700} $+
$\frac{5}{8}\sqrt {448} $
\item $\sqrt[3]{128}$-- 2 $\sqrt[3]{2}$ + 5 $\sqrt[3]{54}$-- 2 $\sqrt[3]{16}$
\end{enumerate}
\end{multicols}



\item Halla las siguientes sumas y diferencias de radicales:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\sqrt {75a^3b^2} +\sqrt {3ab^4} $
\item 3$\sqrt {a^3b} $--$\sqrt {ab^3}
+\sqrt {a^5b} $
\item  5$\sqrt {4a} $-- 3$\sqrt {36a} $+ 3$\sqrt {25a} $
\item $\sqrt {\frac{ac^2 - bc^2}{18}} $-- 3 $\sqrt {\frac{a - b}{8}} +\sqrt
{\frac{4a - 4b}{32}} $
\item  $\sqrt {\frac{x^5y}{z^3}} +\sqrt
{\frac{xy^5}{z^3}} $-- $\sqrt {\frac{4x^3y^3}{z^3}} $
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item Reduce al mismo \'{\i}ndice los siguientes radicales:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item  $\sqrt 3 $; $\sqrt[6]{5}$; $\sqrt[{10}]{7}$
\item  $\sqrt[{15}]{5}$;
$\sqrt[3]{7}$; $\sqrt[{25}]{6}$
\item  $\sqrt 2 $; $\sqrt[7]{17}$;
$\sqrt[{14}]{38}$
\item  $\sqrt 2 $; $\sqrt[5]{4}$; $\sqrt[{15}]{3}$
\item  $\sqrt[{25}]{10}$; $\sqrt[{125}]{10}$;
\item $\sqrt[4]{24}$; ;
$\sqrt[{16}]{32}$
\item  $\sqrt[4]{4}$; $\sqrt[3]{3}$; $\sqrt 2 $
\item $\sqrt[3]{4}$; $\sqrt 5 $; $\sqrt[4]{7}$

\end{enumerate}
\end{multicols}

\item Reduce al mismo \'{\i}ndice los siguientes radicales:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\sqrt[3]{(x - 1)^2} \quad ,
\quad \sqrt {x - 1}$
\item $
\sqrt {\frac{a - 1}{2b}} \quad , \quad \sqrt[3]{\frac{a - 1}{2b}}$
\item $\sqrt[4]{\frac{x + y}{2a}} \quad ,
\quad \sqrt {\frac{x + y}{2a}}$
\item $\sqrt x \quad ,
\quad \sqrt[3]{x^2} \quad , \quad \sqrt[3]{x}$
\item $\sqrt[4]{a^3b} \quad ,
\quad \sqrt {ab} \quad , \quad \sqrt[3]{ab^2}$
\item $
\sqrt {a^2 + b^2} \quad , \quad \sqrt[4]{a + b} \quad , \quad
\sqrt[3]{a + b}$
\item $\sqrt[{n\, - \,1\,}]{b} \quad ,
\quad \sqrt[{n\, + \,1}]{ab} \quad , \quad \sqrt[{n\, -
\,1\,}]{a}$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\item Multiplica o divide los siguientes radicales:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item  $\sqrt[3]{2}\,\cdot \,\sqrt[3]{5}$
\item  $\sqrt 2 \,\cdot \,\sqrt {37}
\,\cdot \,3\sqrt {12} $
\item  $\sqrt {16} \,\cdot \,\sqrt[4]{18}\,\cdot
\,\sqrt[6]{32}$
\item  $\sqrt 5 \,\cdot \,\sqrt[4]{3}\,\cdot \,\sqrt[{12}]{7}$
\item  $\sqrt[3]{9}\,\cdot \,\sqrt[3]{5}\,\cdot \,\sqrt[3]{27}$
\item  $\sqrt[4]{b^3}\,:\,\sqrt b $
\item $\sqrt[8]{625}\,:\,\sqrt[4]{25}\,$
\item  $\sqrt {8x^5} \,:\,\sqrt
{2x^3} $
\item $\sqrt[6]{a^3}\,:\,\sqrt[3]{a^2}$
\item $\sqrt[6]{27}\,:\,\sqrt[4]{9}$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\item Multiplica o divide los siguientes radicales:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\sqrt 2 \,\cdot \,\sqrt 3 \,\cdot \,\sqrt 5$
\item $2\sqrt 3 \,\cdot \,3\sqrt 2 \,\cdot \,4\sqrt 5$
\item $\left( {\sqrt 2 - \sqrt 5 } \right)\,\cdot \,\sqrt 3$
\item $\left( {\sqrt[3]{2} + \sqrt 3 + \sqrt[6]{5}} \right)\,\cdot \,\sqrt
2$
\item $\left( {2\sqrt 5 - 3\sqrt 2 } \right)\,\cdot \,\left( {2\sqrt 5 + 3\sqrt 2 }
\right)$
\item $\sqrt 8 :\sqrt 2$
\item $2\sqrt 5 :4\sqrt 2$
\item $\sqrt[3]{40}\,:\,\sqrt {15}$
\item $\left( {\sqrt {50} - \sqrt {12} - \sqrt {20} } \right):\,\sqrt
2$
\item $\sqrt[4]{a^3b^2}:\sqrt {ab}$
\item $\sqrt[3]{\left( {a - b} \right)^2}:\sqrt {a - b}$
\item $\sqrt[3]{(x - 1)^2}:\sqrt {x - 1}$
\item $\sqrt {\frac{a - 1}{2b}} :\quad\sqrt[3]{\frac{a - 1}{2b}}$
\item $\sqrt[4]{\frac{x + y}{2a}}:\sqrt {\frac{2a}{x + y}}$
\item $\left( {\sqrt x \,\cdot \,\sqrt[3]{x^2}} \right)\,\,:\,\,\left(
{\,\sqrt[3]{x}\,\cdot \,\sqrt x } \right)$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\item Racionaliza las siguientes expresiones:



\begin{center}
a) $\frac{2}{3\,\sqrt 5 }$ b) $\frac{2\sqrt 6 }{\sqrt 2 }$ c)
$\frac{3}{2\,\sqrt[3]{4}}$ d) $\frac{ - 2}{\sqrt[3]{9}}$ e)
$\frac{3}{\sqrt[5]{7^3}}$
\end{center}





\begin{center}
f) $\frac{\sqrt 3 }{\sqrt[3]{3}}$ g) $\frac{3\,\sqrt[4]{5}}{\sqrt {21} }$ h)
$\frac{2}{\sqrt 3 - 2}$ i) $\frac{5}{\sqrt 2 - \sqrt 5 }$ j)
$\frac{\sqrt[3]{5}}{\sqrt 5 - 1}$
\end{center}





\begin{center}
k) $\frac{22}{\sqrt 5 + 4}$ l) $\frac{12}{\sqrt 6 + \sqrt 2 }$ m) $\frac{1 -
\sqrt 2 }{1 + \sqrt 2 }$ n)$\frac{9}{\sqrt 5 + \sqrt 7 }$ \~{n})
$\frac{\sqrt 2 }{1 - \sqrt 5 }$
\end{center}





\item Calcular el valor de la siguiente expresi\'{o}n, racionalizando
previamente:


\[
\frac{2}{\sqrt 3 - 1} - \frac{1}{\sqrt 2 + 1} - \frac{1}{\sqrt 2 + \sqrt 3
}
\]






\end{enumerate}
\end{document}