\documentclass [12pt]{article}
\usepackage {multicol}


\begin{document}
\begin{center}
\textbf{\textit{LOGARITMOS}}
\end{center}




\begin{enumerate}
\item   Calcula las siguientes potencias y escr\'{\i}belas en forma de
logaritmo, tal y como se indica en el ejemplo:

\begin{center}
5$^{3}$ = 125 $ \Leftrightarrow $ log$_{5}$ 125 = 3
\end{center}



\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}




\item  7$^{2}$

\item  3$^{5}$

\item  $\left( {\frac{1}{9}} \right)^2$
\item  $\left( {\frac{2}{3}} \right)^2$
\item  10$^{6}$
\item  2$^{7}$
\item  5$^{ \mbox{--} 3}$
\item  $\left( {\frac{5}{3}} \right)^{ - \,2}$
\item  6 $^{\mbox{--}2}$
\end{enumerate}


\end{multicols}



\item  Calcula las siguientes potencias y escr\'{\i}belas en forma de
logaritmo, tal y como se indica en el ejemplo:

\begin{center}
3$^{2}$ = 9 $ \Leftrightarrow $ log$_{ 3}$ 9 = 2
\end{center}



\begin{multicols}{3}


\begin{enumerate}
\item  2$^{5}$
\item  $32^{\frac{1}{5}}$
\item  3 $^{\mbox{--} 4}$
\item  3$^{4}$
\item  $81^{\frac{1}{4}}$
\item  2 $^{\mbox{--}5}$
\item  5$^{2}$
\item  $125^{\frac{1}{3}}$
\item  5 $^{\mbox{--}3}$
\end{enumerate}


\end{multicols}





\item  Calcula el exponente de las siguientes igualdades y escr\'{\i}belo,
posteriormente, en forma de logaritmo, tal y como muestra el ejemplo:

\begin{center}
125$^{x}$ = 5 $ \Rightarrow $ x = $\frac{1}{3} \quad  \Rightarrow $ log $_{125}$
5 = $\frac{1}{3}$
\end{center}



\begin{multicols}{3}

\begin{enumerate}
\item  10 $^{a}$ = 1000
\item  10 $^{b}$ = 1
\item  10 $^{c}$ = 0,001
\item  1000 $^{d}$ = 10
\item  16 $^{e}=\frac{1}{16}$
\item  16 $^{f}$ = 4
\item  16 $^{g}$ = 256
\item  16 $^{h}=\frac{1}{4}$
\item  16 $^{i}=\frac{1}{256}$
\end{enumerate}


\end{multicols}







\item  Calcula el exponente de las siguientes igualdades y escr\'{\i}belo,
posteriormente, en forma de logaritmo, tal y como muestra el ejemplo:

\begin{center}
5$^{x}=\frac{1}{5} \quad  \Rightarrow $ x = --1 $ \Rightarrow $ log $_{5}$
$\frac{1}{5}$ = --1
\end{center}



\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item  10 $^{a}$ = 0,1
\item  9 $^{b}$ = 1
\item  64 $^{c}$ = 4
\item  10 $^{d}$ = 10
\item  17 $^{e}$ = 1
\item  32 $^{f}$ = 2
\item  27 $^{g}$ = 9
\item  4 $^{h}=\frac{1}{16}$
\item  7 $^{i}=\frac{1}{256}$

\end{enumerate}

\end{multicols}



\item   Calcula la base de los siguientes logaritmos:



\begin{multicols}{3}





\noindent
log $_{a }$36 = 2

\noindent
log $_{a }$64 = 3

\noindent
log $_{a }$0,01 = --2

\noindent
log $_{a }$0,001 = 3

\noindent
log $_{a }$12345 = 1

\noindent
log $_{a }$8 = 3



\end{multicols}







\item   Calcula la base de los siguientes logaritmos:



\begin{multicols}{3}





\noindent
log $_{a }$3 = 1

\noindent
log $_{a }$1 = 0

\noindent
log $_{a }$0,25 = --2

\noindent
log $_{a }$2 = 2

\noindent
log $_{a }$121 = --1

\noindent
log $_{a }$8 = --3



\end{multicols}







\item   Calcula:



\begin{multicols}{3}





\noindent
log $_{3}$ 81

\noindent
log $_{3}$ 9

\noindent
log $_{3}$ (1/3)





\noindent
log $_{2}$ 1

\noindent
log $_{41}$ 41

\noindent
log 0,01





\noindent
log $_{5} \quad \sqrt 5 $

\noindent
log $_{2}$ 32

\noindent
log 100



\end{multicols}

\item  Calcula:



\begin{multicols}{3}





\noindent
log $_{4}$ 1024

\noindent
log $_{16}$ 256

\noindent
log $_{7}$ 343





\noindent
log $_{64}$ 8

\noindent
log $_{625}$ 5

\noindent
log $_{27}$ 3





\noindent
log $_{9}$ 243

\noindent
log $_{64}$ 256

\noindent
log $_{625 }$216



\end{multicols}



\item  Calcula el valor aproximado de los siguientes logaritmos, sabiendo que
el log $_{2}$ 3 $ \cong $ 1,60:



\begin{multicols}{4}





\noindent
log $_{2}$ 6

\noindent
log $_{2}$ 24

\noindent
log $_{2}$ (2/3)

\noindent
log $_{2}$ (3/4)

\noindent
log $_{2}$ 15 -- log $_{2}$ 5

\noindent
log $_{2}$ (1/9)

\noindent
log $_{2}$ 0,5

\noindent
log $_{2}$ 0,25



\end{multicols}







\item  Calcula el valor aproximado de los siguientes logaritmos, sabiendo que
el log 2 $ \cong $ 0,301:



\begin{multicols}{4}





\noindent
log 8

\noindent
log 40

\noindent
log 25

\noindent
log 200

\noindent
log 0,04

\noindent
log 1,25

\noindent
log 0,008

\noindent
log 0,0016



\end{multicols}







\item   Calcula las siguientes expresiones sin hacer uso de la calculadora:



\begin{multicols}{3}





\noindent
log $_{4}\,\left( {\,\sqrt[3]{4^5}\,} \right)^2$

\noindent
log $_{15}$ 5$^{2}$ + log $_{15}$ 3$^{2}$

\noindent
log $_{2} \quad \sqrt[4]{2\,\sqrt[3]{2^2}}$

\noindent
log $_{3} \quad \frac{5\sqrt 3 }{\sqrt[3]{75}\,\,\sqrt[6]{225}}$

\noindent
log $_{\frac{1}{6}}  \quad \frac{\sqrt[4]{6}}{\sqrt[3]{36}\,\,\sqrt[5]{216}}$

\noindent
log $_{2} \quad \left( {\sqrt[3]{\frac{1}{4}}\,\cdot \,\sqrt[5]{\frac{1}{16}}}
\right)^{\frac{2}{3}}$



\end{multicols}







\item   Si log $_{a}$ H = 2 y log $_{a}$ 32 $\cdot $ N = 5, ?`cu\'{a}nto vale
a?





\item  Si log $_{5}$ N = t, expresa en funci\'{o}n de t los siguientes
logaritmos:



\begin{multicols}{4}





\noindent
log $_{5}$ 125 $\cdot $ N

\noindent
log $_{5} \quad \frac{N}{25}$

\noindent
log $_{5}$ 5$^{5}$





\noindent
log $_{5} \quad \sqrt[4]{N}$



\end{multicols}







\item   Si log $_{7}$ N = p, expresa en funci\'{o}n de p los siguientes
logaritmos:



\begin{multicols}{5}





\noindent
log $_{7}$ 49 $\cdot $ N

\noindent
log $_{7} \quad \frac{N}{49}$

\noindent
log $_{7}$ 7$^{5} \quad \cdot $ N

\noindent
log $_{7} \quad \frac{N}{343}$

\noindent
log $_{7}$ 2401 $\cdot $ N



\end{multicols}







\item  Si log $_{6}$ N = q, expresa en funci\'{o}n de q los siguientes
logaritmos:



\begin{multicols}{5}





\noindent
log $_{6}$ 36 $\cdot $ N

\noindent
log $_{6} \quad \frac{N}{6}$

\noindent
log $_{6}$ 6$^{4} \quad \cdot $ N

\noindent
log $_{6} \quad \frac{N}{36}$

\noindent
log $_{6}$ 216 $\cdot $ N



\end{multicols}





\item   Si al n\'{u}mero N lo multiplicamos por 81, ?`qu\'{e} alteraci\'{o}n
experimenta su logaritmo en el sistema de base 3? ?`Y en el de base 9?





\item   Si al n\'{u}mero N lo dividimos por 256, ?`qu\'{e}
alteraci\'{o}n experimenta su logaritmo en el sistema de base 16?
?`Y en el sistema de base 2? ?`Y en el sistema de base 4?





\item  Si log $_{a}$ N = 2,2577 y el log $_{a}$ 125 $\cdot $ N = 5,2577, halla
razonadamente el valor de la base a de los logaritmos.





\item  Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en forma de
logaritmo, sabiendo que a = log 3, b = log 5 y c = log 7:



\begin{multicols}{3}

\begin{enumerate}
\item  a + b + c
\item  2a + 3b
\item  $\frac{a + b}{2}$
\item  $\frac{c - b}{3}$
\item  $a + \frac{c - b}{3}$
\end{enumerate}


\end{multicols}



\item  Reduce las siguientes expresiones logar\'{\i}tmicas a un solo
logaritmo:



5 log 2 -- 3 log 2

\noindent
log x$^{4}$ -- log x$^{3}$

\noindent
log 3 + log 4 -- log 2

(log 27 + log 64) -- (log 8 -- log 9)





\item   Toma logaritmos decimales en las siguientes expresiones, para obtener
la expresi\'{o}n logar\'{\i}tmica correspondiente:



\begin{multicols}{3}





A = $\frac{a^3 \cdot b^4 \cdot c}{d^2}$

C = x$^{2}$ t$^{3}$ z$^{5}$ t$^{7}$





B = $\sqrt {a^3} \cdot \sqrt[3]{b^2}^{ \cdot }$c$^{4}$

D = $\frac{xyz}{t}$

E = $\frac{4\,\pi \,r^3}{3}$

F = $\sqrt[4]{x\,\sqrt[3]{x^2}}$



\end{multicols}



\item   Toma logaritmos decimales en las siguientes expresiones, para obtener
la expresi\'{o}n logar\'{\i}tmica correspondiente:



\begin{multicols}{3}





A = $\frac{a \cdot \sqrt[3]{b^4} \cdot c^4}{d^2\,\cdot \,\sqrt[4]{e^2}}$

B = x $^{\mbox{--}2}$ y $^{\frac{2}{3}}$t$^{3}$ z$^{\frac{1}{5}}$

C = $\sqrt {a^{ - 3}} \cdot \sqrt[3]{b^2}^{ \cdot }\frac{1}{c^{ -
4}}$

D = $\sqrt[4]{x\,\sqrt[3]{x^2\sqrt[3]{x}}}^{ }$

F = $\frac{x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{1}{2}}z}{\sqrt[5]{t^6}}$



\end{multicols}

\item   Escribe la forma algebraica de A , B, C, D y E en las siguientes
expresiones:





\noindent
log A = $\frac{3}{7}$log a + 2 log b -- 5 log c -- 4 log d

\noindent
log B = $\frac{1}{2}$log a + 3 log b -- 2 log c + 2

\noindent
log C = 2 (log a + 3 log b) -- $\frac{1}{2}$(2 log c + log d)

\noindent
log D = 2 log 5 + 3 log 7 -- 4 log 11

\noindent
log E = $\frac{1}{6}$log 2 -- $\frac{1}{4}$log 7 -- $\frac{1}{8}$log 5





\item  Escribe la forma algebraica de A , B, C, D y E en las siguientes
expresiones:





\noindent
log A = 3 log x -- 5 log y

\noindent
log B = $\frac{\mbox{5 log x } + \mbox{ 3 log y}}{\mbox{2}}$

\noindent
log C = 2 log x -- 3 log y + 5 log z

\noindent
log D = 2 log 5 + 3 log 7 -- 4 log 11

\noindent
log E = $\frac{1}{6}$log 2 -- $\frac{1}{4}$log 7 -- $\frac{1}{8}$log 5





\item   Completa esta tabla:


\begin{table}[htbp]
\begin{tabular}
{|p{31pt}|p{31pt}|p{37pt}|p{37pt}|p{41pt}|p{41pt}|}
\hline
a&
b&
log $_{a}$ b&
log $_{b}$ a&
log $_{a}$ b$^{2}$&
log $_{b}$ a$^{2}$ \\
\hline
11&
121&
&
&
&
 \\
\hline
25&
&
$\frac{3}{2}$&
&
&
 \\
\hline
&
$\frac{1}{2}$&
&
--2&
&
 \\
\hline
3&
&
&
&
-- 4&
 \\
\hline
0,1&
&
&
&
&
$\frac{3}{2}$ \\
\hline
&
1000&
$\frac{3}{2}$&
&
&
 \\
\hline
$\sqrt 7 $&
&
&
$\frac{1}{4}$&
&
 \\
\hline
$\sqrt[3]{36}$&
$\sqrt 6 $&
&
&
&
 \\
\hline
\end{tabular}
\label{tab1}
\end{table}







\item   El pH de un l\'{\i}quido es el logaritmo de la inversa de la
concentraci\'{o}n de iones H$^{ + }$ que hay en \'{e}l. Por ejemplo, si la
concentraci\'{o}n de H$^{ + }$ es 10 $^{\mbox{--}7}$, entonces su pH es:

\begin{center}
log $\frac{1}{10^{ - 7}}$= log 10 $^{7}$ = 7.
\end{center}

Calcula el pH de los l\'{\i}quidos que tienen las siguientes concentraciones
de H $^{ + }$:



\begin{multicols}{3}





5 $\cdot $ 10 $^{\mbox{--}5}$

3,8 $\cdot $ 10 $^{\mbox{--}8}$

9,32 $\cdot $ 10 $^{\mbox{--}7}$



\end{multicols}



\item   La poblaci\'{o}n rural de una provincia espa\~{n}ola disminuye
un 2 {\%} cada a\~{n}o. Si la poblaci\'{o}n actual de la provincia
es de 100000 habitantes, y suponiendo que la disminuci\'{o}n se
sigue realizando en la misma proporci\'{o}n, ?`en cu\'{a}ntos
a\~{n}os su poblaci\'{o}n quedar\'{a} reducida a 60000 habitantes?
(Nota: la f\'{o}rmula de crecimiento o disminuci\'{o}n continuos
de una poblaci\'{o}n es: P(t) = P$_{0} \quad \cdot $ (1 $\pm
$c)$^{ t}$, siendo P$_{0}$ la poblaci\'{o}n inicial y c el tanto
por ciento con el que crece o disminuye la poblaci\'{o}n)





\item  La poblaci\'{o}n de un estado crece en un a\~{n}o un 2,5 {\%}.
?`Cu\'{a}nto tiempo se necesitar\'{a} para duplicarse suponiendo que sigue
creciendo con el mismo ritmo?





\item  El 1 de enero de 1900 la poblaci\'{o}n de una ciudad era de 75000
habitantes y el 1 de enero de 1950 hab\'{\i}a alcanzado 180000 habitantes.
?`Cu\'{a}l fue su tanto por ciento de crecimiento anual, si \'{e}ste se hizo
de manera continua?





\item   La constante de desintegraci\'{o}n del polonio 218
(Po$_{218})$ es $\lambda $ = 4 $\cdot $ 10 $^{\mbox{--} 3}$ s
$^{\mbox{--}1}$. ?`Cu\'{a}nto tiempo necesitar\'{a} una muestra de
ese elemento para que se reduzca a la mitad de sus \'{a}tomos?
(Nota: la f\'{o}rmula de la desintegraci\'{o}n continua de los
\'{a}tomos es: N = N$_{0} \quad \cdot $ e $^{\mbox{--} \lambda
\cdot t}$, siendo N$_{0}$ el n\'{u}mero inicial de \'{a}tomos)
\item   La constante de desintegraci\'{o}n del torio C es $\lambda $ = 2 $\cdot
$ 10 $^{\mbox{--} 4}$ s $^{\mbox{--}1}$. ?`Cu\'{a}ntos \'{a}tomos
quedar\'{a}n sin desintegrarse, al cabo de 15 minutos de una muestra que
inicialmente ten\'{\i}a un mill\'{o}n de \'{a}tomos?



\end{enumerate}

\end{document}