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Calcumat.ProblemaClepsidrar1.4 - 14 Nov 2004 - 08:58 - RicardoDeLosSantosabajo

Problema de la clepsidra

Los relojes de agua de la antigua Grecia (clepsidras) consistían en un recipiente con un orificio pequeño "O", donde el tiempo se iba marcando por el nivel de agua en el recipiente superior. ¿Qué forma (razonándolo)debe tener el recipiente para que la escala del tiempo sea uniforme? La simetría del recipiente es axial

-- PacoLaure - 12 Nov 2004

Falta poner un dibujo ilustrativo de una curva y=f(x) que al girar alrededor del eje Y nos genera el recipiente.

A) Solución "informal"
Usaremos las siguientes notaciones:
V= volumen de líquido existente en el recipiente
v= velocidad de salida del líquido (en m/s)
y= altura del líquido
x= coordenada relacionada con la altura mediante y=f(x) (o mejor aun x=g(y) )

En cualquier libro de Física General encontramos que la velocidad de salida del líquido viene dada por la fórmula de Torricelli $v=\sqrt{2gy}$ donde es la aceleración de la gravedad. Esto se puede deducir de la ecuación de Bernoulli

Si es la sección del agujero (en m^2 ) entonces nos dará en m^3/s el caudal del reloj. Matemáticamente esto se expresa como $dV/dt=-S\sqrt{2gy}$

Por otro lado el volumen de revolución alrededor del eje Y viene dado por una integral del tipo $V=\displaystyle\int{{\pi}g(y)^2\,dy}$ (que a veces se escribe $V=\displaystyle\int{{\pi}x^2\,dy}$ ) de lo que se deduce $dV/dy={\pi}x^2$ . Si estamos dispuestos a ser un poco más informales, podemos decir que en el dibujo se intuye la relación $dV={\pi}x^2dy$ al interpretar como un cilindro de radio y una altura muy pequeña y de aquí llegaríamos a la misma expresión $dV/dy={\pi}x^2$

La regla de la cadena, escrita en la forma $dV/dt=dV/dy\cdot dy/dt$ , nos dice $-S\sqrt{2gy}=x^2\cdot dy/dt$ , pero por hipótesis dy/dt=cte , de donde elevando al cuadrado y despejando obtenemos una expresión del tipo y=kx^4

-- RicardoDeLosSantos - 12 Nov 2004

B) Un poco más de rigor
Sea $\sigma(t)=(x(t),y(t))$ una curva situada en el primer cuadrante, parametrizada por el tiempo , tal que al girar alrededor del eje Y nos genera el recipiente, de modo que y(t) coincide con el nivel de líquido en el el instante .

Por hipóstesis y'(t)=cte<0 pues la altura del líquido va descendiendo de forma uniforme. Del teorema de la función inversa se deduce la existencia de una función tal que x(t)=g(y(t))

Notemos y_0=y(t_0) , y_1=y(t_1) . Usando el teorema del cambio de variable para integrales vemos que

$\int_{t_0}^{t_1}{{\pi}\,g(y(t))^2\, y'(t)\,dt}=\int_{y_0}^{y_1}{{\pi}g(y)^2\,dy}$ =diferencia de volumen entre los instantes t_1 y t_0 . Obsérvese que si t_0<t_1 el valor de la integral es negativo, como puede deducirse del signo de y'(t) o del hecho de que debe ser y_1<y_0 al haber cada vez menos líquido.

Podemos entonces afirmar que

$V(t)=V(0)+\int_{0}^{t}{{\pi}\,g(y(\lambda))^2\,y'(\lambda)\,d\lambda}$

de donde se sigue

$V'(t)={\pi}\,g(y(t))^2\,y'(t)$ (donde y'(t) es una constante negativa a la que podemos llamar -k_0 )

i.e.

$V'(t)=-{\pi}\,k_0\,x(t)^2$

Igualando esta expresión la que obtenemos de la ley de Torricelli $V'(t)=-S\sqrt{2gy(t)}$ llegamos a una expresión del tipo

y(t)=kx(t)^4 para todo . Es decir la curva generatriz de la clepsidra tiene por ecuación y=kx^4

-- RicardoDeLosSantos - 13 Nov 2004

NOTA.
El mismo razonamiento que hemos hecho al calcular el volumen de revolución usando ecuaciones paramétricas se puede aplicar al calculo del área comprendido entre una curva y el eje X (o el eje Y).

Sea la curva de ecuaciones , tales que la curva se recorre en el sentido de las agujas del reloj al variar en el intervalo . Entonces el área comprendida entre la curva, el eje X y las rectas y viene dada por

$\displaystyle\int_{t_0}^{t_1}{y(t)\,x'(t)\,dt}$ (simbólicamente $\displaystyle\int{y\,dx}$ )

El que la curva se recorra en el sentido de las agujas del reloj significa que cuando la curva está por encima del eje X es x'(t)>0 y así la integral coincide siempre con

$\pm\int_{a}^{b}{f(x)\,dx}$ (siendo a=x(t_0) , b=x(t_1) )

tomando el signo adecuado.

Del mismo modo, el área comprendida entre la curva, el eje Y y las rectas e usando una parametrización donde el recorrido se produzca en sentido contrario a las agujas del reloj viene dada por $\displaystyle\int_{t_0}^{t_1}{x(t)\,y'(t)\,dt}$ (simbólicamente $\displaystyle\int{x\,dy}$ )

-- RicardoDeLosSantos - 14 Nov 2004

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