Vamos a determinar qué tipo de transformación relaciona la medida de una misma magnitud desde dos sistemas de referencia, moviéndose uno con respecto al otro con velocidad uniforme.

Transformaciones de Galileo

Supongamos dos sistemas de referencia k y k'. El sistema k' en reposo y el sistema k moviéndose con velocidad constante v  (v<<c) con respecto a k'.

El eje x de k desliza sobre x' de k'  y los ejes y y z de ambos sistemas se mantienen paralelos.

En este tipo de sistemas en los que v<<c el tiempo y la longitud se conservan en ambos sistemas. Es decir si en un reloj situado en k' han pasado 25 segundos, en otro reloj situado en k y sincronizado con el anterior también habrán pasado 25 segundos a pesar de que un sistema se desplace con respecto al otro (o por lo menos la diferencia es tan pequeña que se puede despreciar). Lo mismo podemos decir para la longitud.

Como observas en las figuras. Si tenemos un punto situado a una distancia x (sobre el eje x del sistema k), en el sistema k' las coordenadas de ese punto serán x'=x+vt (vt representa el desplazamiento de O con respecto a O'). Ésto lo podemos resumir en el siguiente sistema conocido como transformaciones galileanas:

x'=x+vt

y'=y

z'=z

t'=t

Estas transformaciones son válidas siempre que v<<c

(la velocidad con que se mueve un sistema respecto al otro sea mucho menor que la de la luz)

Transformaciones de Lorentz

(mecánica relativista)

Las transformaciones de Galileo forman parte de la mecánica clásica y no fueron cuestionadas hasta que distintos experimentos con partículas que se movían a grandes velocidades dieron al traste con ellas. Ésto motivó a Lorentz a plantearse unas nuevas transformaciones para el caso de los electrones en movimiento.

Ahora suponemos dos sistemas, en principio, cuando t1=t2=0 sus orígenes son coincidentes. En esos orígenes tenemos sus respectivos observadores y un foco que emite un destello de luz. Se deja transcurrir un cierto tiempo durante el cual el sistema S2 de ha deslizado sobre el eje x separándose de S1 a una velocidad constante. Calculemos la distancia desde cada observador (que se encuentra en los orígenes de cada sistema) al punto P al cual ha llegado el destello de luz.

La distancia que medirá el observador de S1 la vamos a llamar r1 y será igual a:

Como la velocidad de la luz en ambos sistemas es igual a c, esta distancia r₁ se puede expresar también como r₁=c.t₁

** ecu 1.0

De igual manera podemos proceder para la medida que haga el observador de S2; r₂=c.t₂

** ecu 1.1

Si observas bien la imagen, la distancia a P desde los dos orígenes es distinta.

Como la velocidad de la luz en ambos sistemas es la misma, ésto implica que r1≠r2

r₁=c.t₁

r₂=c.t₂

por lo tanto t1≠t2  

(por lo tanto no son válidas las transformaciones galileanas)

De todas formas vamos a demostrar que estas transformaciones no son posibles:

Según las transformaciones de Galileo:

x2=x1-vt2

y2=y1

z2=z1

t2=t1

Sustituimos estas ecuaciones en ecu 1.1 con la intención de obtener ecu 1.0 y queda

Que como se ve no es ecu 1.0, conclusión, tenemos que buscar unas nuevas transformaciones.

En primer lugar la ecuación que nos da x₂ tiene que variar según una proporcionalidad

(justamente la variación de la longitud que encontrará después Einstein)

x₂= α ( x1-vt₁ )

El tiempo también tiene que cambiar y ser proporcional a como varía la abcisa

t₂= ω (t₁ - k x₁)

Tenemos ahora el sistema:

c²t₂²=x₂²+y₂²+z₂²

x₂= α ( x1-vt₁ )

y₂=y₁

z₂=z₁

t₂= ω (t₁ - k x₁)

Sustituyendo tenemos:

c²(ω (t₁ - k x₁))²=(α ( x1-vt₁ ))²+y₁²+z₁²

Desarrollando el anterior sistema y sacando factor común queda:

x₁².(-c².ω².k²+α²)+y₁²+z₁²=t₁².(-α².v²+c².ω²)+x1.(-2.α².v.t₁+2 .k .c². w² .t₁)

Para que este sistema sea igual a ecu 1.0 queda:

(-c².ω².k²+α²)=1

(-α².v²+c².ω²)=c²

(-2.α².v.t₁+2 .k .c². w² .t₁)=0

Simplificamos la última ecuación por t₁ y resolvemos:

Por lo tanto las ecuaciones de la nueva transformación son:

Junto con:

y₂=y₁

z₂=z₁

Estas ecuaciones se conocen como Transformación de Lorentz,

y son  válidas para todos los sistemas inerciales independientemente de su velocidad,

cuando la velocidad v es muy pequeña con respecto a c, los términos v.x₁/c₂ y v₂/c₂

se hacen muy pequeños siendo despreciables con lo cual nos encontramos frente

a la clásica transformación galileana.

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