Una red de Tuberías
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El agua fluye por una red de
tuberías (en miles de metros cúbicos por hora) tal y como muestra la
figura. a) Resolver este sistema en las incógnitas xi , i=1,2,.....,7 b) Calcular el flujo de agua cuando x6 = x7 = 0 c) Calcular el flujo de agua cuando x5=1000 y x6=0
a) Resolver este sistema en las incógnitas xi , i=1,2,.....,7
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Planteamos el sistema
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Nodo |
Entran | Salen | Ecuación |
| 1 | 600 | x1+x3 | x1+x3=600 |
| 2 | x1 | x2+x4 | x2+x4=x1 |
| 3 | x2+x5 | 500 | x2+x5=500 |
| 4 | 500 | x5+x7 | x5+x7=500 |
| 5 | x7+x4 | x6 | x7+x4=x6 |
| 6 | x6+x3 | 600 | x6+x3=600 |
En forma de matriz ampliada
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | c |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 600 |
| -1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 500 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 500 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | -1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 600 |
Obtenemos la forma escalar reducida de a
Fíjate bien en el resultado,
tenemos 5 filas linealmente independientes
y el sistema tiene 7 incógnitas,
con lo cual tenemos que fijar dos de las incógnitas
para dar el Conjunto de soluciones del Sistema
en su representación paramétrica.
Llamando t a x7 y s a x6 tenemos:
x1 = s
x2 = t
x3 = 600 - s
x4 = s - t
x5 = 500 - t
x6 = s
x7 = t
b) Calcular el flujo de agua cuando x6 = x7 = 0
Entonces s = t = 0
con lo cual el flujo que pasa por los distintos hilos
(en miles de metros cúbicos por hora)
x1 = 0
x2 = 0
x3 = 600
x4 = 0
x5 = 500
x6 = x7 = 0
Como ves sólo fluye agua por los hilos 3 y 5.
Este sistema es el que utilizan los ayuntamientos para controlar el flujo
de sus tuberías de agua
(claro que a gran escala con muchos más nudos e hilos)
c) Calcular el flujo de agua cuando x5=1000 y x6=0
Fíjate bien en el gráfico, concretamente en el nodo 4.
Como ves entran 500 y salen x5+x7.
Matemáticamente resulta que si x5=1000,
entonces x7=-500.
Esto puede parecer un sin sentido,
un hilo con un flujo negativo de agua.
Este flujo negativo sin embargo en una simulación
puede ser indicativo de que si la demanda aumenta en el hilo x5
hay que aumentar el flujo hacia el nodo 4 para poder cumplir con la demanda de agua.
Se resuelve el sistema se ve qué pasa si aumenta la demanda en x5 hasta 1000
y en x6 se queda en cero. Hay que replantear el sistema eliminando x5 y x6 como
incógnitas y dejándolos como constantes con valores 1000 y cero respectivamente.
(puedes planteártelo como ejercicio)
Queda:
x1 = 0
x2 = -500
x3 = 600
x4 = 500
x5 = 1000
x6 = 0
x7 = -500
Al obtener valores negativos en algunos hilos se observa en qué nodos
hay que aumentar el flujo de agua y en cuáles se puede disminuir, después se replantea de nuevo todo el sistema.
En la práctica, las empresas utilizan potentes ordenadores y programas capaces para resolver los sistemas de Ecuaciones lineales que les plantean estas simulaciones. Para que te hagas una idea, un problema de programación de tripulaciones y vuelos en la Empresa American Airlines requirió cálculos con matrices de 837 filas y 12.750.000 columnas. Este problema de Programación Lineal exigió dividir el problema en unidades más pequeñas y resolverlo en un superordenador CRAY Y-MP.
Fuente: Very Large-Scale linear Programming: A Case Study in Combining interior point and simplex methods, Bixby, Robert E, etc. Operations Research, 40, núm. 5, 1992
Veamos ahora el análisis de una Red Eléctrica
