Una aplicación del Cálculo: encontrar los máximos y los mínimos.

Existe una amplia variedad de problemas y aplicaciones que tienen las siguientes finalidades: encuentra el área mínima, el menor coste, la forma óptima, la menor resistencia, el máximo beneficio, el mayor alcance...

Todos estos problemas, se engloban dentro de la categoría de Optimización de funciones.

Te voy a enumerar una serie de estrategias que tienes que seguir en todos estos problemas:

1. Identifica todas las cantidades dadas y las cantidades a determinar.

2. Escribe una ecuación primaria para la magnitud que debe hacerse máxima o mínima.

3. Reduce la ecuación primaria a una ecuación que sólo tenga una variable independiente. Este paso te puede exigir el utilizar ecuaciones secundarias que relacionen las variables independientes de la ecuación primaria. (Las despejas en las secundarias y las sustituyes en la primaria)

4. Fija el dominio de la ecuación primaria. Ésto es, determina el rango de valores para los que tiene sentido el problema planteado.

5. Utiliza el Cálculo (derivada primera y segunda de la ecuación primaria) para obtener el valor máximo o mínimo solicitado.

¿ Recuerdas las ecuaciones paramétricas para este movimiento?

x(t)=v_{0x .} t = v₀ . cos α . t

y(t)=v₀ . sen α . t - .5 g t²

Cuando el alcance sea máximo, el proyectil estará en el suelo y por tanto y(t)=0

Para g tomaremos el valor de 9.8 m/s²

Con lo cual nos quedan las ecuaciones así:

x(t)=v_{0x .} t = v₀ . cos α . t (Ecuación primaria que hay que optimizar)

0=v₀ . sen α . t - 4.9 t² (Ecuación secundaria)

Los valores posibles para α van de 0 a 90 grados (α tiene que estar en el primer cuadrante)

(Fíjate que en esta ocasión le he llamado α al ángulo de tiro, puesto que la variable θ la tenía definida en la Classpad y no me interesaba borrarla, al fin y al cabo tú decides los nombres de las variables)

Hemos borrado las variables que teníamos definidas.

Fíjate que he despejado t en la ecuación secundaria

0=v₀ . sen α . t - 4.9 t²

No me sirve el valor t=0 pues este valor es el momento inicial del lanzamiento. El otro valor de t es el del momento en que el proyectil cae al suelo. A continuación voy a sustituir este valor en la ecuación primaria de abajo para dejarla sólo en función de α.

x(t)=v_{0x .} t = v₀ . cos α . t

Ya tengo la función a optimizar (es la función que ves como x=..... en la Classpad)

(la he rodeado de rojo, que no se te olvide que en todo problema de optimización, el primer paso es buscar esta función que es la que hay que optimizar)

Para comprobar los valores en los que esta función toma valores máximos, voy a derivar esta función con respecto a α. Cuando la función alcance un máximo o un mínimo su derivada es cero (gráficamente es muy fácil de imaginar, porque en estos puntos la pendiente de la recta tangente es cero)

En la captura de abajo, resuelvo la ecuación derivada de la función a optimizar=0 con respecto a α

Te he puesto en las capturas de arriba todos los valores para los cuales la derivada es cero.

A nosotros sólo nos sirve un valor del primer cuadrante, es decir entre 0 y 90 grados (recuerda que tienes que tener definidos los valores para los cuales las soluciones tienen sentido, es decir el dominio de la función primaria)

Aquí tienes la posible solución: α=45 grados.

Para comprobar que este valor es un máximo, tenemos que hallar la derivada segunda de la función a optimizar y sustituir en ella α=45. Si obtenemos un valor negativo estaremos ante un máximo, si el valor fuese positivo tendríamos un mínimo.

Fíjate que en la primera captura te he indicado de rojo cuando hemos hallado la derivada segunda de la función a optimizar, el resultado lo he rodeado de rojo. Luego hemos sustituido en este resultado α por 45º.

El resultado obtenido de esta sustitución va a ser negativo independientemente del valor que tenga v₀²  (puesto que es el producto de un nº negativo por uno positivo), por lo tanto α=45 es el máximo de la función a optimizar que es lo que descubrió Tartaglia.