Cálculo-cinemática

LO QUE TIENES QUE SABER

El Cálculo es la matemática de los cambios, velocidades y aceleraciones. Además de estos conceptos, el Cálculo se ocupa de las rectas tangentes, la pendiente, el área, el volumen, la longitud de arco, las centroides, la curvatura y una inmensa variedad de conceptos que han capacitado a científicos, ingenieros y economistas para crear modelos adecuados a las situaciones de la vida real.

Aunque antes del Cálculo también se estudiaban la mayoría de estos conceptos, se hacía de una forma estática, mientras que el Cálculo es dinámico (de ahí lo de las matemáticas de los cambios).

La estrategia innovadora del Cálculo es la utilización del concepto de "límite". Podemos esquematizar esta idea de la siguiente manera:

Matemática previa al Cálculo -> Paso al límite -> Cálculo

Podemos considerar cuatro grandes problemas como motores del Cálculo (sobre todo en sus comienzos en el Siglo XVII):

	El problema de la recta tangente
	El problema de la velocidad y la aceleración
	El problema de los máximos y los mínimos
	El problema del área bajo una curva

De hecho, uno de los momentos cruciales en la Historia de las Matemáticas, lo constituye el descubrimiento de la interrelación entre estos grandes problemas. Este hallazgo provocó el nacimiento del Cálculo como gran rama de las Matemáticas en lo que se denomina como Teorema Fundamental del Cálculo.

Y como grandes matemáticos, a los que se les puede atribuir la paternidad del Cálculo como parte fundamental de las matemáticas tenemos a dos de las figuras más sobresalientes de las Matemáticas y las Ciencias Físicas:

NEWTON

LEIBNIZ

De hecho, nombrar así, de esta forma tan simple a estas dos figuras, puede no dar una idea clara de su importancia. En su libro "El Prodigio de los números". Clifford A. Pickover, hace una encuesta entre los matemáticos más notables de la actualidad para hacer una especie de ranking de los matemáticos más influyentes de toda la historia. En primer lugar, y por abrumadora mayoría, destaca la figura de Newton. El mismo Leibniz dijo de él:

" Considerando las matemáticas desde el comienzo del mundo hasta la época de Newton, lo que éste ha hecho es con mucho la mejor mitad"

Como hecho curioso te citaré, que en esta relación, no aparece Leibniz. Si quieres te paso a enumerar en orden la lista de estos diez genios de las matemáticas: Newton, Gauss, Euclides, Euler, Hilbert, Poincaré, Riemann, Galois, Descartes, Pascal.

Nosotros vamos a trabajar en este apartado, uno de los problemas que originaron el Cálculo: la velocidad, aceleración y la función posición de un objeto en un momento determinado. Lo vamos a hacer partiendo de varios problemas.

MENÚ DE CINEMÁTICA

1.- Un problema de movimiento vertical

2.- Obtención de las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado

3.- Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

4.- Movimiento rectilíneo uniformemente decelerado

5.- Movimiento de un proyectil. Ecuaciones paramétricas de este tipo de movimiento.

6.- Un problema de movimiento de un proyectil

PROBLEMA 1

1.- Un problema de movimiento vertical:

" Una bola se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 64 pies/segundo desde una altura inicial de 80 pies:

a.- Hallar la función posición que da la altura s en términos del tiempo t.

b.- ¿Cuándo llega la bola al suelo?"

(Fíjate que las unidades que trabajamos son pies por segundo para la velocidad. Si trabajas con libros de Cálculo americanos o ingleses, tendrás que acostumbrarte a trabajar con estas unidades. Si quieres trabajar en el Sistema Internacional de medidas, simplemente fíjate abajo en los valores de la aceleración de la gravedad en los dos sistemas de medidas y podrás pasar fácilmente de uno a otro)

DATOS

v(0)=64 pies/segundo (velocidad inicial, es decir, cuando t=0)

s(0)=80 pies (espacio inicial, es decir, en t=0)

Tomaremos la aceleración constante de la gravedad: -32 pies/s^2,es decir -9,8 m/s²

Busquemos la función posición s(t)

Trabajaremos en Main

Borramos todo

Borramos las variables de la "a" a la "z"

Definimos la función velocidad v(t) como la Integral de la aceleración que es constante= -32 pies/s² más una constante que llamamos "a"

Obtenemos la función velocidad: v(t)=a-32t . Además sabemos que para t=0 tenemos que la velocidad v(0)=64. Entonces resolvemos la ecuación v(0)=64=a-32t cuando t=0 obteniendo el valor de la constante a=64.

Ahora podemos definir la función velocidad v(t)=64-32t

Otra alternativa: obtener la función velocidad con ecuaciones diferenciales

Como sabemos que la función aceleración es la derivada de la función velocidad con respecto al tiempo, podemos plantear una ecuación diferencial v'(t)=a(t) siendo en este caso a(t)=constante=-32.

Ésta es la ecuación diferencial que tenemos que resolver para obtener la función v(t), además sabemos que cuando t=0 el valor de v=64.

La sintaxis para resolver una ecuación diferencial es dSolve(v'=f(t),variable independiente,variable dependiente,var.indep=valor,var.dep=valor)

Como se ve, con esta orden (dSolve) si omitimos los valores interrelacionados de la variable dependiente y de la independiente, obtenemos la función velocidad + constante. Si queremos obtener esta constante tenemos que proporcionar el valor de la variable dependiente que toma en función del valor proporcionado a la variable independiente.

La función posición s(t) es la integral de la función velocidad v(t) más una constante "b"

Obtenemos la función posición: s(t)=-16t²+64t+b . Sabemos por los datos que en el instante t=0 la altura inicial s(0) es igual a 80. Podemos resolver entonces la ecuación s(0)=80=-16t²+64t+b cuando t=0 y obtenemos un valor b=80.

Por fin tenemos la función posición en función del tiempo s(t)=-16t²+64t+80 (recuerda que esta función nos da la posición en pies y el tiempo en segundos)

Otra alternativa: obtener la función posición con ecuaciones diferenciales

Resolvemos la ecuación diferencial s'=v(t) siendo la variable independiente t, la variable dependiente s y sabiendo que cuando t=0 entonces s=80.

¿Cuándo llegará la bola al suelo?

Pensemos que en el momento que la bola toque el suelo la función posición valdrá cero s(t)=0.

Obtenemos dos posibles valores: t=5 segundos y t=-1 segundo. Como el tiempo tiene que ser positivo, el valor válido es t=5 segundos. Quiere decir que a los 5 segundos de tirar la bola, ésta llega al suelo.

Vamos a estudiar gráficamente el problema

Definimos y1=-16x²+64x+80 (tenemos que utilizar la variable x para el tiempo e y para la función posición).

Con la opción TABLA, podemos visualizar los valores que toma y en función de los de x.

Con estos valores podemos definir la ventana de visualización para la función (fíjate en la opción del menú rodeada).

Definimos la ventana de visualización en función de los valores obtenidos en la tabla anterior.

Representamos la gráfica de la función.

Pero está mejor si la representamos en su dominio (es decir con valores de la variable tiempo positivos, en este caso entre 0 y 5 segundos).

La forma de hacer ésto es añadir después de la definición de la función la orden restrictiva "with" |.

Calculemos la altura inicial. Para ello, calculamos el valor de y cuando x=0.

Para calcular cuando llega la bola al suelo, calculamos el punto de corte con el eje x, o lo que es lo mismo, la raíz de la función y(x).

¿ Qué altura máxima alcanzará la bola ?

Como se ve, a los 2 segundos la bola alcanzará su altura máxima: 144 pies.

( En este punto la derivada con respecto a x de la función y(x) es cero )

¿ Cómo lo ves ?

En esta dirección puedes bajarte una presentación realizada con Impress (Open Office) sobre cinemática. ¡¡¡ Muy buena !!!

http://www.omerique.net/modules.php?op=modload&name=Web_Links&file=index&req=visit&lid=62

Gracias a Maite Ruiz. Profesora de Física y Química del IES Alminares.

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