Operaciones con matrices
Igualdad de matrices
Para que dos matrices sean iguales, primero tienen que cumplir el tener la misma dimensión
y luego serán iguales cuando tengan iguales los elementos que ocupen la misma
posición dentro de la matriz.
Si te fijas en las dos matrices de arriba, podrás deducir que para que sean iguales
se tiene que cumplir que:
x= -3
y= 0
z= 4
t= 9
¿ Sabrías encontrar los valores de x e y para que las dos matrices fuesen iguales ?
Suma y diferencia de matrices
Vamos a utilizar la Classpad para obtener la definición de la suma de matrices:
Hemos definido dos matrices genéricas m y n
Hemos sumado m+n y n+m y hemos comprobado que la suma de matrices
tiene la propiedad conmutativa.
Como ves se suman los elementos de la matriz que ocupan el mismo lugar (tienen los mismos subíndices).
Ésto también nos dice que no se pueden sumar matrices con diferentes dimensiones.
Para restar matrices procedemos de la misma forma, pero teniendo en cuenta que la resta
no tiene la propiedad conmutativa.
El elemento neutro de la suma o diferencia es la matriz nula del mismo orden de la matriz de referencia.
También la suma tiene la propiedad asociativa
m+(n+p) = (m+n) + p
El elemento opuesto de una matriz m es su opuesta -m
(es decir la misma pero con todos los elementos cambiados de signo)
Multiplicación de matrices
Vamos a utilizar la Classpad para obtener la definición de la multiplicación de matrices:
Fíjate que se multiplican los elementos (uno a uno) de la primera fila de la primera matriz
por los de la primera columna de la segunda matriz y se van sumando estos productos
El resultado de esta operación se coloca como elemento p11
( siendo p la matriz resultante del producto de m x n )
En la posición p12 irá el resultado de ir multiplicando los elementos de la primera fila
de la primera matriz, por los de la segunda columna de la segunda matriz, sumando estos productos.
Así sucesivamente (fíjate en las capturas de la Classpad).
La regla la podemos enunciar como sigue:
"El elemento que se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz producto se obtiene multiplicando
los elementos de la fila i de la matriz de la izquierda por la columna j de la matriz de la derecha y sumando los resultados"
Te he puesto también el resultado de n x m
y como verás el resultado es diferente.
En general, la multiplicación de matrices no tiene la propiedad conmutativa.
( de ahí que hablemos de producto por la izquierda o por la derecha )
A diferencia de la suma de matrices, en el producto sí se pueden multiplicar
matrices de distinta dimensión pero con la siguiente restricción:
El número de columnas de la matriz de la izquierda tiene que ser igual al nº de filas de la matriz de la derecha.
La dimensión de la matriz resultante es m x q siendo m el nº de filas de la matriz de la izquierda
y q el nº de columnas de la matriz de la derecha.
Propiedades del producto de matrices:
Asociativa:
m . (n . c) = ( m . n ) . c
Distributiva respecto de la suma:
m . (n + c) = m . n + m .c
( m + n ) . c = m . c + n . c
( fíjate bien en la multiplicación por la derecha o por la izquierda )
No es conmutativo
Elemento neutro
Es la matriz unidad correspondiente, si la matriz a tiene dimensión m x n
a . In = a
Im . a = a
Siendo In la matriz unidad de orden n e Im la matriz unidad de orden m
Multiplicación o división de un nº real por una matriz
Como se ve, para multiplicar ( o dividir) una matriz m por un nº real k
se multiplican ( o dividen ) todos los elementos de la matriz por dicho nº.
Propiedades:
conmutativa:
k . m = m . k
Distributiva respecto de la suma de matrices:
k . ( m + n )= k.m + k.n (siendo m, n matrices y k un nº real)
Distributiva respecto de la suma de números reales
Sean k, z dos números reales y m una matriz.
( k + z ). m = k.m + z.m
Asociativa
Sean k, z dos números reales y m una matriz.
( k . z ). m = k . ( z . m )
Elemento neutro: el número 1
1 . m = m (siendo m una matriz)
