Este es un concepto que
nos va a ser de gran utilidad a la hora de enfrentarnos a la resolución
de un sistema de ecuaciones. Voy a intentar explicártelo de forma
sencilla.
Imagina un sistema de
ecuaciones como el siguiente:
4x +
4y + 12z = 0
2x +
2y + 4z = 2
2x +
2y + 6z = 0
Si te fijas en la
primera ecuación y la comparas con la tercera, te darás cuenta que la
primera es igual a la tercera multiplicada por 2. Es decir, las dos
ecuaciones son linealmente dependientes, puesto que una surge de hacer
transformaciones elementales a la otra (multiplicar por una constante).
El rango de una matriz,
me da el nº de filas linealmente independientes de la matriz, si la
matriz está formada por lo términos de un sistema de ecuaciones, el
rango me dice cuantas de estas ecuaciones son linealmente
independientes. Ésto va a ser fundamental a la hora de resolver el
sistema. Te remito a la Sección de Resolución de
Sistemas de Ecuaciones.
Por
transformaciones
elementales
podemos entender todas aquellas que no afecten al rango ni al orden de
una matriz y son:
1. Intercambiar las
filas y/o columnas.
2. Multiplicar una fila
(o una columna) por una constante distinta de cero.
3. Sumar a una fila
otra (o a una columna otra).
4. Multiplicar una fila
(o columna) por una constante distinta de cero y sumarla a otra fila (o
columna).
El cálculo del rango de
una matriz se puede hacer por varios métodos, uno de ellos es someter a
transformaciones elementales a la matriz hasta que la dejemos en su
forma diagonal escalar reducida (es decir todos los elementos de la
diagonal principal distintos de cero iguales a uno). Este método puede
llegar a ser bastante laborioso y depende de si tienes un buen día y ves
las cosas con claridad, por si no tienes ese día, la Classpad puede
ayudarte:
Utilizaremos la orden rref(matriz)
Esta orden nos da la
forma escalonada reducida por filas de matriz.
Contamos las filas
en las que no todos sus elementos sean cero y ello nos da el rango de la
matriz.
La
sintaxis es rref(matriz).
La orden
rref() la puedes encontrar en Action:Matriz Calculation
Como ves
en la captura de arriba, después de aplicarle la orden rref(m) obtengo
tres filas en las que no todos sus elementos son cero,
por lo tanto el rango de m
es 3.
Matriz
inversa
Sea
a
una matriz y a-1
su inversa, entonces a x
a-1 = a-1 x a = I (matriz unidad)
Así queda
definida la matriz inversa de otra.
¡¡¡ La
condición para que una matriz tenga inversa es que su determinante sea
distinto de cero !!!
Vamos a
ver cómo se calcula la matriz inversa con la Classpad:
En las
capturas de arriba vemos cómo se calcula la matriz inversa (elevando a -1)
con la Classpad
y comprobamos la propiedad citada en la definición de matriz inversa.
(Cuando
veamos los determinantes más adelante resolveremos un ejercicio
relacionado con las matrices inversas)
Si una
matriz tiene inversa, se dice que es invertible, o que es
regular o que es no singular.
Otra
cosa importante es que si una matriz es invertible, su inversa es única
(sólo hay una).
La forma
de resolver la matriz inversa de otra matriz con lápiz y papel es diversa,
aunque el
método más directo es planteando un sistema como el que sigue:
Tras
multiplicar las dos primeras matrices e igualar a la matriz unidad
se
obtiene el sistema:
5x + z
=1
5y + t
=0
-3x +
8z=0
-3y +
8t=1
Como se
ve, es un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas (no
homogéneo)
en la
sección de resolución de ecuaciones aprenderás a resolverlo.
Las
soluciones son:
x= 8/43
y= -
1/43
z= 3/43
t= 5/43
También
está el método de Gauss-Jordan,
pero
como ves, estos métodos son bastante tediosos en cuanto a cálculos.
Factorización LU
