Esta propiedad es evidente, puesto que bastaría tomar esa fila o columna y desarrollar el determinante por ella, con lo que obtendríamos una suma de la forma:

0. A_i1 +  0. A_i2 +  ...+ 0. A_ij = 0

_{Suponiendo que hubiésemos desarrollado por la fila i toda compuesta de ceros.}

2.- Si una matriz tiene dos filas iguales o proporcionales (es decir linealmente dependientes) su determinante es cero.

Fíjate en la cuarta fila de la matriz de la captura de la Classpad. Es igual a la primera fila multiplicada por 2, o la primera fila es la cuarta divida por dos.

Si ahora pedimos a la Classpad que calcule el determinante de la matriz m comprobaremos la propiedad citada.

3.- Si permutamos dos líneas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo.

Ahora voy a permutar en la matriz m la fila 1 con la 2 (lo mismo vale para las columnas). Con la Classpad podemos permutar filas (no columnas) con la orden swap. Esta orden la podemos obtener en el menú: Action-Matrix Calculation-swap y su sintaxis es swap(matriz,fila1,fila2), donde fila1 y fila2 son los números de las filas a permutar (da igual el orden en que pongas las filas a permutar, la orden swap simplemente las permuta). El resultado lo he almacenado en la variable n y posteriormente le he calculado el determinante a n. Como ves el valor es el mismo con el signo cambiado.

Si quieres permutar los elementos de dos columnas en vez de los de las filas puedes utilizar el siguiente método:

1.- Traspones la matriz objeto con el fin de convertir las columnas en filas.

2.- Intercambias las columnas (que ahora son filas) con la orden swap

3.- Vuelves a trasponer la matriz y ya tienes el resultado buscado.

Estos pasos los puedes resumir combinando las órdenes swap y trn

En la captura voy a intercambiar las columnas 3 y 4 de la matriz n

4.- Si multiplicamos todos los elementos de una línea de una matriz cuadrada por un mismo número, su determinante queda multiplicado por dicho número.

Fíjate en lo que voy a hacer:

1.- Para que no te confundas con las matrices anteriores, voy a definir la matriz p a partir de la matriz n, simplemente con n -> p

2.- Voy a introducir en la variable x el valor 2 con 2 -> x

3.- Voy a multiplicar por x la segunda fila de la matriz p y el resultado lo voy a almacenar en la matriz q. Ésto se hace con la orden Action-Matrix Calculation- mRow, cuya sintaxis es:

 mRow(expresión,matriz,fila)

Ahora le calculo el determinante a q para comprobar que tiene que ser igual a 2 x det(p)

Si quieres multiplicar los elementos de una columna, traspones la matriz y realizas las operaciones y después vuelves a trasponer.

5.- Si a una línea de una matriz cuadrada se le suma los elementos de otra línea multiplicada por un número, el determinante de la matriz resultante no varía.

Esta propiedad es muy importante porque nos va a permitir desarrollar con lápiz y papel determinantes de matrices de orden mayor que tres.

Vamos a utilizar la orden de la Classpad Action-Matrix Calculation-mRowAdd cuya sintaxis es:

mRowAdd(expresión,matriz,fila1,fila2)

Esta orden mutiplica la fila1 de la matriz por expresión y el resultado lo suma a fila2

Como sólo sirve para realizar operaciones con filas, si quisieras trabajar con columnas, primero traspones la matriz, operas y vuelves a trasponer el resultado.

Trabajemos con la matriz q, voy a multiplicar su fila segunda por 2 y el resultado se lo voy a sumar a la fila 1. Después almaceno el resultado en la matriz r. Por último compruebo que los determinantes de q y r son iguales.

6.- El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta.

Lo comprobamos fácilmente en la captura de abajo

7.-Si una matriz A tiene inversa A^-1 se verifica que det(A^-1)= 1 / det(A)

Trabajamos con la matriz r. Primero comprobamos que tiene matriz inversa con r^-1 y después probamos lo dicho en esta propiedad.