Área bajo una curva

Problema propuesto en las pruebas de Selectividad de Madrid. España.
Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales.

a) Hallar las coordenadas del mínimo de la curva y=x²-4x-5

b) Calcular el área del triángulo limitado por el eje OX y las tangentes a la curva dada en los puntos de intersección de dicha curva con el eje OX.

Primera parte del Problema

1.- Limpiamos las variables almacenadas en la Classpad con la orden Clear_a_z
Definimos y1(x) como la función dada. Hacemos ésto porque de esta forma queda automáticamente definida la función en la parte de gráficos y tablas de la Classpad y queda lista para poder ser representada.

2.- Recordamos que para que una función tenga un mínimo en un punto, la derivada en ese punto tiene que ser cero (repasa la interpretación geométrica de la derivada en Calcumat). Por lo tanto, se trata de ver que valores anulan la primera derivada de y1(x).
Puedes observar en la captura superior que he usado la orden solve para averiguar esos valores:

solve(diff(y1(x),x)=0,x)

Con la orden expuesta encuentro que el valor que anula la primera derivada de y1(x) es x=2.
Para comprobar si en x=2 hay un máximo o un mínimo tengo que mirar la segunda derivada de y1(x).
Si el valor de la segunda derivada en x=2 es mayor que cero, estaremos ante un mínimo, si es menor que cero será un máximo (si fuese cero podría tratarse de un punto de inflexión).

En la captura superior vemos que la segunda derivada de y1(x) es siempre positiva, por lo tanto en x=2 hay un mínimo de y1(x). Para encontrar la ordenada de x=2, simplemente escribo y1(2).

El valor pedido para el mínimo es (2,-9)

Comprobación gráfica

3.- Como ya tenemos definida y1(x), la representamos (con la opción Zoom puedes controlar la ventana para una correcta visualización de la gráfica). Con la opción Analysis->G-Solve->Min le decimos que busque el mínimo de y1(x) y comprobamos los resultados obtenidos analíticamente.

Segunda parte del Problema

4.- Lo primero que tengo que encontrar son los puntos de corte de y1(x) con el eje X.
Para ello, resuelvo la ecuación y1(x)=0. En la Classpad se hace con la orden:

solve(y1(x)=0,x)

Obteniendo como resultado que los puntos de corte de y1(x) con el eje X son:
x=-1, x=5

Después, averiguo el valor de la derivada de y1(x) en estos puntos encontrados, con el fin de averiguar la pendiente de la recta tangente a y1(x) que pasa por ellos. (Vuelve a repasar la interpretación geométrica de la derivada en Calcumat).

En la Classpad he realizado este calculo con las órdenes:

diff(y1(x),x)|x=-1
diff(y1(x),x)|x=5

Devolviendo las pendientes respectivas 6 y -6

Ahora que tengo la pendiente de la recta tangente a y1(x) que pasa por los puntos x=-1 y x=5, defino la ecuación de estas rectas en su forma punto pendiente, es decir, y-y₁= m (x-x₁)
En la ecuación anterior, m es la pendiente de la recta que pasa por el punto (x₁,y₁)

Ambas ecuaciones las he almacenado en y2(x) e y3(x) con lo que quedan listas para su representación gráfica.

5.- Ahora averiguo el punto de corte de ambas rectas tangentes, solucionando la ecuación:
y2(x) = y3(x)

Como ves en la captura superior, el punto de corte es (2,-18). Es decir, las rectas tangentes se cortan por debajo del eje X.

6.- Para calcular el área bajo una curva, uso la integral definida
Tengo que calcular el área entre la primera recta tangente y2(x) y el eje X, desde que corta al eje X en el punto -1 hasta que se corta con la otra recta tangente y3(x) en el punto x=2.
Como estamos trabajando bajo el eje X, la integral definida devolverá valores negativos, por lo que uso el valor absoluto de la integral como se ve en la captura superior.
Asimismo, tendré que calcular el área entre y3(x) y el eje X desde que se corta con y2(x) hasta que corta al eje X en el punto x=5.

En ambos caso me devuelve el valor 27. Por lo tanto el área pedida será:

2 . 27 = 54 u²

Comprobación gráfica

7.- Aquí ves representadas la función dada con sus dos rectas tangentes en los puntos de corte con el eje X.
He retocado el Zoom para obtener una correcta visión de la zona que nos interesa.

8.- Selecciono la recta tangente almacenada en y2(x) y le busco la integral definida entre los puntos -1 y 2.
En la Classpad está dentro de la opción Analysis-G-Solve-Integral
Me devuelve el valor del área. Al estar por debajo del eje X es un valor negativo que tendremos que tomar en valor absoluto.

9.- Repito el proceso para la recta almacenada en y3(x). Vuelvo a obtener el valor -27.

La suma del área total sería abs( -27 + -27)= 54 u²

Nota de Calcumat:
El poder visionar gráficamente el problema ayuda mucho a su comprensión.
A estas alturas, el hecho de disponer y saber manejar calculadoras de este tipo debería ser parte de la formación matemática que se imparte y se recibe.