La integral de Riemann
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GEORG FRIEDRICH BERNHARD
RIEMANN (1826-1866). Gran matemático alemán. Realizó numerosas
contribuciones a varias ramas de las matemáticas, siendo las más conocidas
en Geometría no Euclídea, ecuaciones diferenciales y teoría de números.
Sus hallazgos fueron fundamentales para el desarrollo posterior de la
Teoría Especial de la Relatividad de Einstein. Cuando hemos hablado del Cálculo como rama de las matemáticas, hemos mencionado varios de los problemas que dieron lugar a su origen y desarrollo. Uno de ellos es el problema del área de una región plana. A lo largo de estas páginas pretendo introducir el concepto de integral definida como instrumento fundamental para el cálculo de dicha área. Comenzaremos con el concepto de sumatorio y la notación sigma Σ (debe su nombre a la letra griega con la que se representa) para expresar estos sumatorios. Por ejemplo si queremos expresar la suma de los primeros diez números naturales podemos hacerlo así en notación sigma:
La letra i recibe el nombre de índice de suma, los números 1 y 10 son los límites inferior y superior de la suma y tienen que cumplir que: límite inferior <= límite superior Podemos definir la suma de n términos a1,a2,a3,....,an utilizando la notación sigma de la forma siguiente:
Para el índice de suma se suele utilizar las letras i , j o k Un ejemplo de notación sigma
Fíjate que la Classpad calcula los sumatorios (pero no hace los desarrollos tal y como yo te los he mostrado en las capturas)
Si en la captura de arriba te pidiesen una predicción del resultado de la suma cuando n tendiese a infinito, ¿qué dirías?.
De nuevo nos volvemos a encontrar con uno de los motores del Cálculo: el paso al límite fíjate:
De la captura de arriba puedes deducir claramente que la suma anterior cuando n tiende al infinito también tiende a infinito. Propiedades importantes para trabajar con la notación sigma En la captura de abajo k es una constante
Ejercicios sobre notación sigma con la Classpad 1.- Halla la suma siguiente:
En la Classpad puedes utilizar la pestaña 2D para introducir de forma natural el sumatorio en notación sigma. Si no te aparece la opción rodeada cuando pulses la pestaña 2D, pulsa sobre la flecha que te he marcado.
Si quieres obtener el resultado de la suma en forma exacta pulsa EXE, si lo quieres en forma aproximada con decimales pulsa sobre la opción rodeada en la captura de abajo.
2.- Halla el límite de la suma siguiente cuando su número de términos tiende a infinito
Calculamos el límite (usando la pestaña 2D de nuevo) de la expresión anterior haciendo que n tienda a infinito
La solución es 5/3
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