F2 1 F(X)=0,X) ¸  y vemos que f(x) no corta al eje x, para ver en qué punto corta al eje y hacemos f(0). Corta en (0,2)

Visualizamos la función con F(X) ¸, para ver si hay simetría par tecleamos F(-X) ¸ (se comprueba su existencia).

Tecleando -F(X) ¸ comprobamos si existe simetría impar (en este caso no existe). Te recuerdo que se tiene que cumplir F(-x) = - F(x)

Al ser la función continua en todo R  no existen asíntotas verticales.

Vamos a ver si existen asíntotas horizontales: F3 3 F(X),X,2JJ) ¸    F3 3 F(X),X,2J-J)¸ Con ésto calculamos el límite de la función cuando x tiende a ∞ y -∞.

Vemos que el eje X (y=0) es asíntota horizontal.

Para comprobar la existencia de asíntotas oblicuas hacemos: F3 3 F(X)÷X,X,2JJ) ¸

Vemos que la pendiente de la posible asíntota oblicua es cero, con lo cual descartamos la misma.

Tenemos que buscar los puntos que anulan la primera derivada de f(x).

Estos puntos junto con los de discontinuidad nos proporcionan los intervalos de estudio de crecimiento o decrecimiento de la función.

Tecleamos: F3 1 F(X),X)§G(X)¸ vCon ello, almacenamos en g(x) la función f ' (x).

Ahora resolvemos la ecuación g(x)=0, para ver que puntos anulan la primera derivada: F2 1 G(X)=0,X)¸

Con este resultado los intervalos de estudio de crecimiento de f(x) son (-∞,0) U (0,+∞). En ellos calculamos el valor de la primera derivada g(x).

Vemos que en el intervalo (-∞,0) el valor de la función es mayor que cero, lo que indica que la función es creciente en dicho intervalo.

Por el contrario es decreciente en el intervalo (0,+∞).

Tenemos que determinar los puntos que anulan la segunda derivada para establecer los intervalos de estudio, así como los puntos en los que la función no es derivable.

Para calcular la 2ª derivada hacemos: F3 1 F(X),X,2)§H(X)¸ vCon ello, almacenamos en h(x) la función f " (x).

Después resolvemos la ecuación h(x)=0, para ver qué puntos anulan la 2ª derivada: F2 1 H(X)=0,X)¸

Al ser la función derivable para todo valor de x, los puntos que determinan los intervalos de estudio de la concavidad son los que anulan la segunda derivada:

(-∞,-1) U (-1,1) U (1,+∞). Tomaremos un punto de cada intervalo y comprobaremos el valor de la segunda derivada.

(Si es mayor que cero la curva es cóncava hacia abajo U, si es menor que cero será cóncava hacia arriba ∩ .

Resultados:

(-∞,-1) Concavidad:  U

(-1,1) Concavidad ∩

(1,+∞) Concavidad:  U

Tenemos que estudiar los puntos que anulan la primera y segunda derivada. (-1,0,1)

Si el valor en estos puntos de la segunda derivada es mayor que cero estaremos ante un mínimo.

Si es menor será un máximo y si el valor es cero estamos ante un posible punto de inflexión (para  comprobarlo estudiamos la concavidad en su entorno).

Vemos que en x=0 hay un máximo. La ordenada será f(0), que vale 2 según vimos al estudiar los puntos de corte con los ejes.

Máximo: (0,2)

En los puntos -1 y 1 se anula la segunda derivada, así que podemos estar ante puntos de inflexión.

En el anterior estudio de la concavidad, vemos que en el punto x=-1 la curva cambia de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba (punto de inflexión pues).

En el punto x=1 la curva cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo (otro punto de inflexión).

Las ordenadas de estos puntos serán f(-1) y f(1):

Puntos de inflexión en (-1 , 3/2)  (1 , 3/2)