Matrices estocásticas
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Cadenas de Markov
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El departamento de
estudios de mercado de una fábrica estima que el 20% de la gente que
compra un producto un mes, no lo comprará el mes siguiente. Además, el 30%
de quienes no lo compren un mes lo adquirirá al mes siguiente. En una
población de 1000 individuos, 100 compraron el producto el primer mes.
¿Cuántos lo comprarán al mes próximo? ¿ Y dentro de dos meses ?. Para resolver este tipo de problemas, lo primero que te recomiendo es que hagas un esquema del mismo:
A la vista del esquema podemos pasar a construir la matriz de probabilidades de transición: De...
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| Compra el producto | No compra el producto |
Al estado
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| 0,80 | 0,30 | Compra el producto |
| 0,20 | 0,70 | No compra el producto |
Después de formar la matriz, comprueba que es estocástica sumando todas sus columnas y comprobando que el resultado es 1.
A esta matriz de probabilidades de transición le llamaremos P.
Ahora formamos la matriz de estado con los datos del problema (le llamaremos X)
Fíjate en X, en la primera fila he puesto las personas que compran el producto 100,
en la segunda los que no lo compran 1000-100=900
Ahora para averiguar la nueva matriz de estado en el primer mes
tengo que multiplicar la matriz de probabilidades de transición P por la matriz inicial de estado X.
Al primer mes, 350 han comprado el producto y 650 no lo han comprado.
Para el siguiente mes, vuelvo a multiplicar la matriz de probabilidades de transición por la nueva matriz de estado obtenida.
Fíjate en las capturas de arriba. Primero he asignado a X el producto de P.X,
con lo cual ya tengo la nueva matriz de estado al cabo del primer mes.
Para el siguiente mes, como repito el proceso, la matriz obtenida sería
la nueva matriz de estado (en el segundo mes de estudio).
Si te fijas, podría haber dejado la matriz de estado inicial X
y para el segundo mes, como tengo que multiplicar dos veces por P (por la izquierda)
podría haber efectuado P2 . X
El resultado indica que en el segundo mes 475 personas han comprado el producto y 525 no.
Vamos a hacer un experimento ya que disponemos de la Classpad que nos ahorra cálculos repetitivos.
¿Qué pasará en los meses siguientes suponiendo que no cambia la matriz de probabilidades de transición?
¿Te atreves a aventurar hacia qué cantidades tienden las personas que compran el producto y las que no?
Esta es una característica de este tipo de problemas,
en ellos, el producto Pn . X tiende a un estado estacionario.
Este estado estacionario es independiente de la matriz de estado inicial X como
veremos en los ejemplos que desarrollaremos posteriormente.
Te adelanto, que el estudio de este tipo de problemas y sus estrategias de resolución
llevan el nombre del matemático ruso Andrei Andreyevich Markov,
y se conocen como Cadenas de Markov en honor a él por ser el que inició el estudio formal de este tipo de secuencias.
Veamos ahora un caso algo más complejo.
