Interpretación geométrica
de la derivada
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Ya he comentado (al
desarrollar la parte sobre Cinemática) que el estudio de varios problemas
y su interrelación dio origen al Cálculo como parte fundamental de las
matemáticas. Uno de ellos y no liviano era el problema de la recta
tangente a una curva general. En 1637 René Descartes escribía
acerca de este problema: " Y me atrevo a afirmar que éste no es sólo el problema más útil y general de la Geometría de los que yo conozco, sino incluso de los que desearía conocer jamás " El problema mismo estriba en la definición incluso de lo que es la recta tangente (tal y como se planteaba en los tiempos previos al Cálculo). Observemos varias gráficas:
¿Podríamos definir la tangente como la recta que toca a una curva en un punto y no la atraviesa?. Esta definición podría valer para la curva de la izquierda, pero no para la derecha. Tampoco nos serviría decir que la tangente es la recta que toca a la curva en un punto y no la intersecta en más de uno (no podemos, a priori, saber qué hará la curva de la derecha y si se encontrará con la tangente en otros puntos). En estos términos estaba el problema hasta que apareció el Cálculo con su poderosa herramienta: el paso al límite. La solución al problema vino de las manos de los creadores del Cálculo (Newton y Leibniz, aunque por separado). El interés de Newton por este problema estribaba en que le era muy útil para sus estudios de Óptica y en especial en la refracción de la luz. Supongamos el siguiente gráfico de la recta secante a una curva dada:
Como ves la recta secante corta a la curva en los puntos M y P.
A partir de ahora vamos a hacer un desarrollo del concepto de tangente a una curva dada en un punto M de la misma.
Para poder representar la gráfica de f(x) en la calculadora, eligiré una función tal que f(x)= 0.25 x2 Y tomaré como abcisa y ordenada del punto M los valores ( 1, f(1) )
Este desarrollo lo voy a hacer en la Calculadora Casio Classpad y en la TI Voyage 200 simultáneamente.
Primero vamos a definir la pendiente de la recta secante que pasa por M y P: ( la pendiente es la tangente del ángulo φ(∆x) )
La función pendiente la definimos como pend(x,ix), siendo ix el incremento de x que hemos visto en la gráfica de arriba y x el valor de la abcisa del punto M, que hemos acordado que sería x=1.
Si observas el gráfico de arriba, la función pend(x,ix)= tangente del ángulo φ(∆x)
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