Los números amigos
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LO QUE TIENES QUE SABER: |
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 Pierre de Fermat (1601-1665). Se le considera uno de los matemáticos más notables de todos los tiempos. A pesar de no poseer una formación universitaria en el campo matemático, sus descubrimientos y retos han dado pie a un notable avance en todos los campos de las matemáticas modernas. Su último teorema, de una concepción en principio muy simple, ha tenido ocupadas a las mentes más preclaras en el terreno matemático durante más de tres siglos y sólo ha podido ser demostrado en 1994 por un genial matemático inglés afincado en la Universidad de Princenton; Andrew Wiles. Éste último teorema, encontrado en el margen de un libro de Diofanto propiedad de Fermat reza así:"Es imposible encontrar la forma de convertir un cubo en la suma de dos cubos, una potencia cuarta en la suma de dos potencias cuartas, o en general cualquier potencia más alta que el cuadrado en suma de dos potencias de la misma clase; para este hecho he encontrado una demostración excelente. El margen es demasiado pequeño para que dicha demostración quepa en él" En resumen la ecuación: Xn + Yn = Zn , no tiene solución cuando n es mayor que 2 (x,y,z,n son números enteros) |
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 Pero
nosotros vamos a tratar algo ¿menos complicado?. Además contamos con la
ayuda de nuestra Classpad.Vamos a conocer qué son los números amigos y cómo encontrarlos. Tiene su mérito. Ten en cuenta que Fermat retó al mismísimo Descartes a buscar parejas de números amigos... |
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PLAN DE TRABAJO
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¿ Qué son los números amigos ? Los pitagóricos (ya les dedicaremos un ratito, puesto que son los precursores de ésta ciencia que nos ocupa y nos preocupa: las Matemáticas) ya habían observado una rara relación entre los números 220 y 284. Los divisores de 220 son: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110 Los de 284 son: 1, 2, 4, 71 y 142. En apariencia no tiene mucho parecido, salvo por este curioso hecho: Si sumamos todos los divisores de 220: si sumamos los de 284: La suma de los divisores de un número nos da el otro. Durante muchos siglos estos dos números fueron los únicos amigos, hasta Fermat. Después de más de dos mil años, Fermat va a descubrir la segunda pareja de números amigos. Unos amigos mucho más complicados que 220 y 284 (imaginaos las horas de trabajo, paciencia y saber matemático del descubrimiento... ¡ah, si Fermat hubiese tenido una Classpad!) Se trata de estos dos números: 17296 y 18416.
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Una regla general que siguen los números amigos Fermat también descubre una regla general (también conocida por un matemático árabe Ibn Qurra): Si q = 3·2 p-1-1; r = 3·2 p
- 1; s = 9·2 2p-1-1 son números primos, entonces
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Plasmemos esta regla en la Classpad
1.- Vamos a definir q, r y s en función de p, tal y como figuran en la regla general. Primero borramos la pantalla y luego todas las variables desde la a la z.
2.- Ahora comprobamos si para p=2 nos salen los valores de q,r,s indicados en la regla general para la pareja 220, 284 ¡ VOILA !
Fíjate bien en la sintaxis {q,r,s}|p=2 (el valor de salida es una lista con los valores de q,r,s para p=2.
3.- Ahora nos queda definir el par de números amigos n , m tal y como se hace en la regla
4.- Ahora podemos probar la orden {q,r,s}|p=x donde vamos cambiando x por valores mayores que 2 y comprobamos si el trío resultante {q,r,s} son números primos. Lo podemos hacer con la orden factor(n), que descompone "n" en factores primos.
Como se ve para p=3, el valor de s=287, que nos es primo, ya que factor(287)=7x41 Pero... para p=4 obtenemos tres valores primos: 23,47 y 1151. Ahora será cuestión de averiguar los valores de n,m para p=4:
Hemos obtenido la pareja 18416 y 17296... ¿Serán de verdad números amigos?. ¿Cómo lo podemos comprobar? (Tengo que decirte que esta pareja fue la que encontró Fermat y con este resultado se atrevió a desafiar a Descartes a encontrar otras parejas de números amigos) Tendríamos que averiguar los divisores de ambos, sumarlos y ver si nos sale el otro número.
Cuando llegué a este punto recordé uno de mis primeros programas en BASIC, desarrollado allá por el año 1987 y que cuyo objetivo era averiguar todos los divisores de un número. Afortunadamente la Classpad se programa en Basic y es muy fácil. (De hecho éste es mi primer programa en la Classpad y sólo me ha llevado un rato para aprender la sintaxis de algunas órdenes). Así que me propuse desarrollar un programita que averiguase los divisores de un número y que los sumase, con lo cual ejecutando este programa para los números obtenidos puedo comprobar la validez del resultado obtenido con la Classpad.
¡¡¡ EUREKA !!! ¡¡¡ HEMOS ENCONTRADO NUESTRA PRIMERA PAREJA DE NÚMEROS AMIGOS !!! aunque Fermat fue el primero en descubrir esta pareja... A partir de ahora tenemos las herramientas para experimentar por nuestra cuenta y encontrar más parejas, si eres tan amable mándame a mi email las que encuentres usando este método.
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