Resolución por factorización LU
Supongamos que tú previamente has estudiado la compatibilidad de un Sistema y su determinabilidad...
Voy a explicarte los pasos para resolver un sistema por el método de la factorización LU
1.- Construimos la matriz de los coeficientes.
2.- Tenemos que descomponer esta matriz en producto de otras dos matrices triangulares:
inferior (Lower) y superior (Upper)
3.- Resolvemos el sistema formado por la matriz ampliada formada por:
matriz triangular inferior aumentada con la matriz de los términos independientes
4.- Por último resolvemos el sistema formado por:
matriz triangular superior aumentada con las soluciones obtenidas en el paso 3
Éste último paso nos da las soluciones al Sistema.
Los pasos 2 y 3 son muy laboriosos para hacerlos con lápiz y papel,
si quieres tener una referencia para llevarlos a cabo te dejo un enlace
a las Matemáticas de Mario.
Afortunadamente la Classpad nos va a resultar muy útil.
SISTEMA 9
2 x + y - 5 z + t = 8
1 x + -3 y -6 t = 9
2 y - z + 2 t = - 5
x + 4 y - 7 z + 6 t = 0
Resolverlo aplicando factorización LU
Seguiremos los pasos arriba descritos
1º introducimos la matriz de los coeficientes en la variable c
2º Aplicamos la factorización LU a c
La sintaxis es LU(matriz,variable memoria matriz triangular inferior, v.m. matriz triangular superior)
Con la orden anterior hemos almacenado en i la matriz triangular inferior y en s la superior
3º Compruebo el resultado de multiplicar i por s :
Te recuerdo que el producto de matrices no tiene la propiedad conmutativa.
No te olvides nunca este paso porque la factorización LU puede cambiar el orden en que aparecen las ecuaciones
en el Sistema, así que debes cerciorarte en qué orden están.
Como se ve al ejecutar i . s la 3ª y 4ª ecuación han cambiado de orden ( ** ),
ésto es fundamental en los pasos siguientes.
4º Introduzco en t la matriz columna de los términos independientes
( ** ojo, recuerda que tienes que cambiar el tercer y cuarto términos independientes de orden )
5º Resuelvo el sistema de la matriz ampliada formada por:
matriz triangular inferior i aumentada con t (la matriz de los términos independientes)
la sintaxis para aumentar una matriz con otra es:
augment (matriz1,matriz2)
Si a esta orden le antepongo rref() obtengo la solución al sistema i aumentada con t
Estas soluciones las introduzco en una nueva matriz columna z
6 º Para solucionar el Sistema, soluciono el formado por
matriz triangular superior aumentada con la matriz z de las anteriores soluciones
(las obtenidas en el paso anterior)
Aquí están las soluciones al Sistema:
x=3
y=-4
z=-1
t=1
Estamos frente a un sistema Compatible Determinado.
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