Discusión de un sistema de Ecuaciones lineales
en función de un parámetro k
Se trata de ver los valores del parámetro k para los cuales el Sistema
será Compatible. También hay que estudiar la determinabilidad del Sistema.
SISTEMA 8
k x + 2 y + 6 z = 0
2 x + k y + 4 z = 2
2 x + k y + 6 z = k - 2
Discutir este Sistema según los valores del parámetro k.
Aplicaremos todo lo dicho hasta ahora sobre Sistemas de Ecuaciones lineales.
Por lo tanto nos enfrentamos a un sistema de n ecuaciones no homogéneas con n incógnitas.
Aplicaremos la regla de Cramer:
Fíjate que primero he averiguado el determinante del Sistema
Δs = 2.k2 - 8
Después averiguo que valores de k anulan el determinante del sistema
Estos valores son { 2, -2}
Por lo estudiado en la Regla de Cramer sabemos que:
Para todo valor de k que no sea 2 ó -2 el Sistema será
Compatible y determinado (con solución única)
Por Cramer sabemos que los valores de k={ 2, -2}
hacen el Sistema o bien incompatible o bien Compatible indeterminado.
Veamos que ocurre cuando hago k=2
He asignado a k el valor 2.
Luego introduzco en m la matriz ampliada del Sistema.
Con la orden rref(matriz ampliada) obtengo la forma escalonada reducida de esta matriz.
La interpretación del resultado obtenido es:
La forma escalonada reducida de la matriz tiene rango 2
( En otro apartado haré un análisis de la importancia de este dato,
pero te adelanto que para que un sistema sea Compatible
el rango de la matriz de los coeficientes tiene que ser igual al rango
de la matriz ampliada: Teorema de Kronecker-Capelli
y para saber si es determinado tenemos que comprobar que
el rango de la matriz de los coeficientes sea igual al nº de incógnitas,
las comprobaciones se hacen en este orden:
primero miramos si el Sistema es compatible y depués
analizamos si es determinado)
Por la captura de la Classpad se ve que se obtiene el sistema:
x + y = 3
z = -1
Si despejamos en la primera x = 3-y
La terna de soluciones sería:
{ 3-y, y, -1}
El Sistema es Compatible indeterminado para k=2
En la captura de arriba he introducido la matriz de los coeficientes en la variable c
Con la orden rref(c) observo que el rango de la matriz de los coeficientes es 2
(hay dos líneas linealmente independientes)
con lo cual, al ser el rango de la matriz de los coeficientes menor que el nº de incógnitas
el Sistema es indeterminado.
Veamos que ocurre cuando hago k= -2
Analicemos el resultado de la orden rref(matriz ampliada)
Fíjate en la última fila de rref(m)
0 0 0 1
Traducido a ecuación:
0 x + 0 y + 0 z = 1
Ésto es imposible, con lo cual podemos concluir que para
k = -2 el Sistema es Incompatible
Veámoslo aplicando el Teorema de Kronecker-Capelli
Para que un sistema sea Compatible
el rango de la matriz de los coeficientes tiene que ser igual al rango
de la matriz ampliada.
Fíjate que el rango de la matriz ampliada m es 3
(Con la orden rref(m) obtengo tres filas linealmente independientes)
El rango de la matriz de los coeficientes c es 2
(Con la orden rref(c) obtengo dos filas linealmente independientes)
Al no ser iguales los rangos, el Sistema es Incompatible.
Resolvamos ahora el Sistema para cualquier
valor de k distinto de { 2, -2 }
Le demos a k el valor que queramos distinto de 2 y -2
obtenemos la solución única:
x= 7/3
y= 10/3
z= -3/2
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