Sistema de n+1 ecuaciones lineales con n incógnitas
Estos Sistemas tienen la forma:
a1x + b1y + c1 = 0
a2x + b2y + c2 = 0
a3x + b3y + c3 = 0
En este ejemplo tenemos dos incógnitas x, y , tres ecuaciones.
Fíjate que los términos independientes los he pasado a la izquierda junto con las incógnitas.
Si se te presenta en la forma:
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
a3x + b3y = c3
Recuerda ponerlo en la forma que te muestro al principio. Ésto es muy importante para discutir sus posibles soluciones.
Se llama Determinante característico en estos sistemas al formado por los coeficientes de las
incógnitas y los términos independientes (colocados en el mismo miembro que las incógnitas)
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Para discutir las posibles soluciones de estos Sistemas tenemos que fijarnos en su Determinante característico: |
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Si Determinante característico
≠ 0
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Sistema incompatible (sin solución) |
Si Determinante característico
=
0
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Sistema Compatible |
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SISTEMA 6 x + 4y = 8 4x + 7y = 5 8x - y = - 35 Decir si es compatible y resolverlo en su caso. |
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Primero lo voy a colocar de forma que pueda formar su Determinante característico: x + 4y -8 = 0 4x + 7y - 5= 0 8x - y + 35= 0
Como ves, le he llamado dc al determinante característico de este Sistema. Su valor es 0, por lo tanto el Sistema tiene Solución. La forma de resolverlo es muy simple: Podemos resolver el sistema formado por n ecuaciones con n incógnitas, en este caso tomamos dos de las ecuaciones y resolvemos el Sistema formado por ellas:
Ahora podemos comprobar el resultado en la ecuación que queda como sigue:
La orden judge(expresión1=expresión2|condición) comprueba la validez de la igualdad para las condiciones expresadas (opcionales) En nuestro caso hemos utilizado: judge(8x-y=-35|x=-4|y=3) devolviendo el valor TRUE (verdadero) con lo cual comprobamos que la tercera ecuación verifica los resultados del sistema formado por las dos primeras.
Como siempre, también podemos resolverlo utilizando la orden rref(matriz ampliada)
Como se ve en la primera fila x= -4 En la segunda y = 3
¡¡ OJO !! No confundas la matriz ampliada con la matriz que hay que formar para obtener el Determinante Característico. Fíjate que en la matriz ampliada los términos independientes se mantienen en el miembro derecho de la igualdad.
Vamos a ver una interpretación gráfica de estos resultados:
Recordemos el Sistema: x + 4y = 8 4x + 7y = 5 8x - y = - 35
Pongamos y en función de x en todas las ecuaciones (despejando y) y = (8 - x) / 4 y = (5 - 4x) / 7 y= 8x + 35 Ahora representemos todas estas rectas:
Elige la opción rodeada para ir al editor de gráficos:
Una vez introduces las tres ecuaciones pulsas sobre el primer icono de la izquierda para representarlas
Si no ves bien las rectas, quizás tengas que definir la ventana de visualización de gráficos con los valores iniciales
Ahora vamos a buscar el punto de corte de las tres rectas
Como se ve, la solución al Sistema es el punto donde se cortan las tres rectas Si las tres rectas no se cortasen en el mismo punto, el sistema no tendría solución:
En este ejemplo he cambiado en un sólo coeficiente el sistema: x + 3y = 8 4x + 7y = 5 8x - y = - 35 Y se ve claramente que las tres rectas no tienen un punto común de corte Si te fijas he cambiado el coeficiente de la y en la primera ecuación
El Determinante característico de este último sistema sería:
El determinante característico de este último sistema es distinto de cero y por lo tanto el sistema es incompatible. Ya hemos visto el significado gráfico de la compatibilidad o incompatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales. Fíjate también que la pestaña 2D de la Classpad sólo sirve para sistemas de n ecuaciones con n incógnitas:
Ir al menú de Sistemas de Ecuaciones
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