Sistema Compatible: es el que tiene solución, el que no la tiene es un Sistema Incompatible.

Sistema Determinado: es un sistema compatible con una única solución para las incógnitas. En un Sistema Indeterminado existen infinitas soluciones.

Sistema Compatible Determinado

Si Δ_x =Δ_y= Δ_z=0.

Sistema Compatible Indeterminado

El sistema estudiado antes:

5x - y + 2z = 2

-x + 3y + z = 15

3x + 2y - z = - 2

Sería pues Compatible y determinado.

Vamos a ver otros ejemplos y aplicaremos la Regla de Cramer para discutir el Sistema

SISTEMA 2

5x + y + 3z = 6

4x + 3y - z = 4

x - 2y + 4z = 5

Discute este sistema y resuélvelo en su caso.

Ya sabemos que el determinante del Sistema es 0. Por lo tanto estamos o bien, ante un Sistema incompatible (sin soluciones) o Indeterminado (con infinitas soluciones). Pasemos a calcular los determinantes de las incógnitas.

El determinante de la x es distinto de cero. Si recuerdas

x= Δ_{x /} Δ_s

x= -30 _/ 0

¡¡¡ HORROR !!! Una división por cero. No tiene sentido, así que ya no hay que continuar: éste sistema es incompatible, es decir no tiene solución. De todas formas mira los determinantes de las otras incógnitas:

SISTEMA 3

2x + 2y + 6z = 0

2x + 2y + 4z = 2

2x + 2y + 6z = 0

Discute este sistema y resuélvelo en su caso

El determinante del Sistema es 0. Así que estamos ante un caso de Incompatibilidad o bien de Sistema Compatible indeterminado. Vamos calculando uno a uno los determinantes de las incógnitas. Si encontramos alguno diferente de 0 estaremos ante un Sistema incompatible, si son todos 0 el Sistema será Compatible indeterminado, es decir con infinitas soluciones.

Como se ve estamos ante un Sistema Compatible Indeterminado

Bueno, he hecho algo de trampa porque he colocado dos ecuaciones iguales (¿te habías fijado?). Lo mismo habría ocurrido si hubiese puesto dos ecuaciones "linealmente dependientes", es decir, tomas una ecuación y multiplicas o divides todos sus coeficientes por un mismo número, entonces las dos ecuaciones se dicen que son linealmente dependientes y en la práctica son la misma ecuación.

¿ Cómo obtenemos las posibles soluciones de un Sistema Compatible indeterminado como éste ?

Pues dándole valores arbitrarios a una de las incógnitas y resolviendo el sistema que te queda:

Por ejemplo, en el sistema que acabamos de ver:

2x + 2y + 6z = 0

2x + 2y + 4z = 2

2x + 2y + 6z = 0

Si por ejemplo haces y=k (pongo k para denotar que puede ser cualquier valor arbitrario)

(1)  2x + 6z = -2k

(2)  2x + 4z = 2 - 2k

Por reducción (multiplico (2) por -1 y luego sumo (1)+(2))

2z = -2

z = -1

Ahora despejo x por ejemplo en (1)

x= (-2k - 6z)/2

pero como z=-1

x= (-2k +6 )/2

x= 3 - K

Así pues las soluciones vendrían dadas por

{ 3-K,  k,  -1 }

( Y ahora ponte a darle todos los valores que quieras a k )

Este proceso puede resultar mucho más fácil si utilizamos la Classpad como sigue:

Fíjate que hemos introducido la matriz ampliada (coeficientes y términos independientes) en la variable t

Aplico la orden rref(t) que devuelve la forma escalonada reducida de la matriz t.

Si te fijas en las filas, hay dos que son linealmente independientes (el rango de esta matriz es dos).

En la primera fila las dos primeras columnas son los coeficientes de x e y y la cuarta el valor del término independiente:

x + y = 3

En la segunda fila:

z = -1

La tercera fila sería:

0.x+0.y+0.z=0

La primera y segunda fila te dan las infinitas soluciones:

{ 3-k, k, -1}

He vuelto a poner y=k, pero podías haberlo dejado todo en función de y:

{ 3-y, y , -1 }

La tercera fila va a ser muy importante a la hora de discutir los sistemas utilizando la orden rref().

Si obtienes una fila como ésta:

0 0 0 1

Significaría:

0.x + 0.y + 0.z = 1

Lo cual es imposible y nos indicaría que el Sistema es Incompatible.

Para otra forma de estudiar la Compatibilidad de un Sistema

así como su determinabilidad, te remito al

Teorema de Kronecker-Capelli

En la sección dedicada a Estudiar sistemas en función de un parámetro

podrás completar tu información sobre este tema.

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